Produit scalaire

Expression du produit scalaire avec les longueurs dans un triangle - Exercice 2

4 min
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Soit ABCABC un triangle tel que :
Question 1

Déterminer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Soient AA, BB et CC trois points du plan. On a : AB→⋅AC→=12[AB2+AC2−CB2]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[AB^{2} +AC^{2} -CB^{2} \right]
D'après le rappel, nous savons que :
AB→⋅AC→=12[AB2+AC2−CB2]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[AB^{2} +AC^{2} -CB^{2} \right] . Il ne nous reste plus qu'à substituer par les valeurs des côtés que l'on connait :
AB→⋅AC→=12[92+52−72]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[9^{2} +5^{2} -7^{2} \right]
AB→⋅AC→=12[81+25−49]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[81 +25 -49 \right]
AB→⋅AC→=12×57\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 57
AB→⋅AC→=572=28,5\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{57}{2}=28,5