Produit scalaire

Expression du produit scalaire avec les longueurs dans un triangle - Exercice 1

4 min
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Question 1
Soit ABCABC un triangle tel que :

Déterminer ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Soient AA, BB et CC trois points du plan. On a : ABAC=12[AB2+AC2CB2]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[AB^{2} +AC^{2} -CB^{2} \right]
D'après le rappel, nous savons que :
ABAC=12[AB2+AC2CB2]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[AB^{2} +AC^{2} -CB^{2} \right] . Il ne nous reste plus qu'à substituer par les valeurs des côtés que l'on connait :
ABAC=12[82+72132]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[8^{2} +7^{2} -13^{2} \right]
ABAC=12[64+49169]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[64 +49 -169 \right]
ABAC=12×(56)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times \left(-56\right)
ABAC=28\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-28