Produit scalaire

Exercices types : Anciennement ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU - Exercice 2

20 min
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Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(2;1)A\left(-2 ; 1\right), B(1;2)B\left(1 ; 2\right) et E(0;5)E\left(0 ; -5\right).
On appelle C\mathscr{C} le cercle de centre AA passant par BB.
Question 1

Justifier qu’une équation du cercle C\mathscr{C} est (x+2)2+(y1)2=10\left(x+2\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =10 .

Correction
Le cercle C\mathscr{C} de centre AA passant par BB admet [AB]\left[AB\right] comme rayon.
Calculons donc la distance ABAB.
AB=(xBxA)2+(yByA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
AB=(1(2))2+(21)2AB=\sqrt{\left(1-\left(-2\right)\right)^{2} +\left(2-1\right)^{2} }
AB=32+12AB=\sqrt{3^{2} +1^{2} }
AB=10AB=\sqrt{10}
  • L'équation d'un cercle C\mathscr{C} de centre Ω(a;b)\Omega \left(a;b\right) et de rayon rr, dans un repère orthonormé est : (xa)2+(yb)2=r2\left(x-a\right)^{2} +\left(y-b\right)^{2} =r^{2}
Nous appliquons directement la formule de l'équation d'un cercle de centre AA passant par BB.. Ce qui nous donne :
(x(2))2+(y1)2=(10)2\left(x-\left(-2\right)\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =\left(\sqrt{10}\right)^{2}
Ainsi :
(x+2)2+(y1)2=10\left(x+2\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =10
Question 2

Calculer ABAE\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}

Correction
  • Dans un repère orthonormé (O;i;j)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , le produit scalaire de deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x;y)\left(x;y\right) et (x;y)\left(x';y'\right) est égal à :
    uv=xx+yy\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
AB(xBxAyByA)AB(1(2)21)AB(31)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1-\left(-2\right)} \\ {2-1} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)
AE(xExAyEyA)AE(0(2)51)AE(26)\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {x_{E} -x_{A} } \\ {y_{E} -y_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {0-\left(-2\right)} \\ {-5-1} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-6} \end{array}\right)
ABAE=3×2+1×(6)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} =3\times 2+1\times \left(-6\right)
ABAE=66\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} =6-6
Ainsi :
ABAE=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} =0

Question 3

Que peut-on en déduire pour les droites (AB)\left(AB\right) et (AE)\left(AE\right) ?

Correction
D'après la question précédente nous savons que : ABAE=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} =0
uv=0u  et  v\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =0\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \; \text{et} \;\overrightarrow{v} sont orthogonaux .
Il en résulte donc que les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AE\overrightarrow{AE} sont orthogonaux, donc que les droites (AB)\left(AB\right) et (AE)\left(AE\right) sont perpendiculaires.

Question 4

Déterminer une équation cartésienne de la droite (AE)\left(AE\right).

Correction
On rappelle que A(2;1)A\left(-2 ; 1\right) et E(0;5)E\left(0 ; -5\right).
Le vecteur AE\overrightarrow{AE} est un vecteur directeur de la droite (AE)\left(AE\right).
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0 où le vecteur u(ba)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right) est un vecteur directeur de cette droite.
AE(26)\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-6} \end{array}\right) étant un vecteur directeur de (AE)\left(AE\right), on en déduit que : b=2-b=2 et a=6a=-6. D'où : b=2b=-2 et a=6a=-6.
Ainsi , on a : 6x2y+c=0-6x-2y+c=0.
Or le point E(0;5)E\left(0;-5\right) appartient à la droite (AE)\left(AE\right), donc les coordonnées du point E(0;5)E\left(0;-5\right) vérifie 6x2y+c=0-6x-2y+c=0.
Il vient alors que :
6xE2yE+c=0-6x_{E} -2y_{E} +c=0
6×02×(5)+c=0-6\times 0-2\times\left(-5\right)+c=0
10+c=010+c=0
c=10c=-10
Finalement, l'équation cartésienne de la droite (AE)\left(AE\right) est : 6x2y10=0-6x-2y-10=0.
Nous pouvons simplifier tous les termes par 2-2 ce qui nous donne :
3x+y+5=03x+y+5=0
.
Question 5

Calculer les coordonnées des points d’intersection de (AE)\left(AE\right) et du cercle C\mathscr{C}.

Correction
Pour déterminer les coordonnées des points d’intersection de (AE)\left(AE\right) et du cercle C\mathscr{C}, il nous faut résoudre le système suivant :
{(x+2)2+(y1)2=103x+y+5=0\left\{\begin{array}{ccc} {\left(x+2\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} } & {=} & {10} \\ {3x+y+5} & {=} & {0} \end{array}\right.
Nous allons commencer par développer l'expression : (x+2)2+(y1)2=10\left(x+2\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =10
Il vient alors :
(x+2)2+(y1)2=10\left(x+2\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =10
x2+4x+4+y22y+1=10x^{2} +4x+4+y^{2} -2y+1=10
x2+4x+y22y5=0x^{2} +4x+y^{2} -2y-5=0
Le système s'écrit maintenant :
{x2+4x+y22y5=03x+y+5=0\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +4x+y^{2} -2y-5} & {=} & {0} \\ {3x+y+5} & {=} & {0} \end{array}\right.
{x2+4x+y22y5=0y=3x5\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +4x+y^{2} -2y-5} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-3x-5} \end{array}\right.
{x2+4x+(3x5)22×(3x5)5=0y=3x5\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +4x+\left(-3x-5\right)^{2} -2\times \left(-3x-5\right)-5} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-3x-5} \end{array}\right.
{x2+4x+9x2+30x+25+6x+105=0y=3x5\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +4x+9x^{2} +30x+25+6x+10-5} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-3x-5} \end{array}\right.
{10x2+40x+30=0y=3x5\left\{\begin{array}{ccc} {10x^{2} +40x+30} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-3x-5} \end{array}\right.
{x2+4x+3=0y=3x5\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +4x+3} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-3x-5} \end{array}\right.
Il nous reste à résoudre l'équation x2+4x+3=0x^{2} +4x+3=0
Ainsi : Δ=424×1×3\Delta =4^{2} -4\times 1\times 3
Δ=4\Delta =4
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=442×1x{}_{1} =\frac{-4-\sqrt{4} }{2\times 1} d'où x1=3x{}_{1} =-3
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=4+42×1x{}_{2} =\frac{-4+\sqrt{4} }{2\times 1} d'où x2=1x{}_{2} =-1
Il s'ensuit que :
  • Si x=3x=-3 alors y=3×(3)5y=-3\times\left(-3\right)-5 d'où : y=4y=4
  • Si x=1x=-1 alors y=3×(1)5y=-3\times\left(-1\right)-5 d'où : y=2y=-2
  • Les coordonnées des points d’intersection de (AE)\left(AE\right) et du cercle C\mathscr{C} sont alors les points (1;2)\left(-1 ; -2\right) et (3;4)\left(-3 ; 4\right).