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Produit scalaire

Exercices types : Anciennement ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU - Exercice 1

20 min
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Soit (O;i;j)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormé.
On considère le cercle C\mathscr{C} de centre A(2;5)A\left(2; 5\right) et de rayon 55 .
Question 1

Montrer qu'une équation du cercle C\mathscr{C} est : x2+y24x10y+4=0x^{2} +y^{2} -4x-10y+4=0 .

Correction
  • L'équation d'un cercle C\mathscr{C} de centre Ω(a;b)\Omega \left(a;b\right) et de rayon rr, dans un repère orthonormé est : (xa)2+(yb)2=r2\left(x-a\right)^{2} +\left(y-b\right)^{2} =r^{2}
Nous appliquons directement la formule de l'équation d'un cercle. Ce qui nous donne :
(x2)2+(y5)2=52\left(x-2\right)^{2} +\left(y-5\right)^{2} =5^{2}
Nous allons développer maintenant l'expression, ce qui donne :
x24x+4+y210y+25=25x^{2} -4x+4+y^{2} -10y+25=25
x24x+4+y210y+2525=0x^{2} -4x+4+y^{2} -10y+25-25=0
Ainsi :
x2+y24x10y+4=0x^{2} +y^{2} -4x-10y+4=0
Question 2

Vérifier que le point B(5;9)B\left(5;9\right) appartient à ce cercle.

Correction
B(5;9)CxB2+yB24xB10yB+4=0B\left(5;9\right)\in \mathscr{C}\Leftrightarrow x_{B} {}^{2} +y_{B} {}^{2} -4x_{B} -10y_{B} +4=0
Nous allons donc calculer xB2+yB24xB10yB+4x_{B} {}^{2} +y_{B} {}^{2} -4x_{B} -10y_{B} +4 .
Il vient alors que :
xB2+yB24xB10yB+4=52+924×510×9+4x_{B} {}^{2} +y_{B} {}^{2} -4x_{B} -10y_{B} +4=5^{2} +9^{2} -4\times 5-10\times 9+4
xB2+yB24xB10yB+4=25+812090+4x_{B} {}^{2} +y_{B} {}^{2} -4x_{B} -10y_{B} +4=25+81-20-90+4
Ainsi :
xB2+yB24xB10yB+4=0x_{B} {}^{2} +y_{B} {}^{2} -4x_{B} -10y_{B} +4=0

Le point B(5;9)B\left(5;9\right) appartient bien au cercle C\mathscr{C} d'équation x2+y24x10y+4=0x^{2} +y^{2} -4x-10y+4=0 .
Question 3

Que peut-on dire de la tangente au cercle au point BB et de la droite (AB)\left(AB\right) ?

Correction
La tangente à un cercle C\mathscr{C} de centre AA en un point BB de C\mathscr{C} est la droite passant par BB et perpendiculaire au rayon [AB]\left[AB\right].
Question 4

Déterminer une équation de la tangente au cercle au point BB.

Correction
Soit M(x;y)M\left(x;y\right) un point appartenant à la tangente au cercle au point BB.
D'après la question 33, on peut affirmer que la droite (AB)\left(AB\right) et la droite (BM)\left(BM\right) sont perpendiculaires.
Il en résulte donc que :
ABBM=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BM} =0
Il nous calculer les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et BM\overrightarrow{BM}, d'où :
AB(xBxAyByA)AB(5295)AB(34)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-2} \\ {9-5} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {4} \end{array}\right)
BM(xxByyB)BM(x5y9)\overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x-x_{B} } \\ {y-y_{B} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x-5} \\ {y-9} \end{array}\right)
  • Dans un repère orthonormé (O;i;j)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , le produit scalaire de deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x;y)\left(x;y\right) et (x;y)\left(x';y'\right) est égal à :
    uv=xx+yy\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
ABBM=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BM} =0
3×(x5)+4×(y9)=03\times \left(x-5\right)+4\times \left(y-9\right)=0
3x15+4y36=03x-15+4y-36=0
Ainsi :
3x+4y51=03x+4y-51=0

Une équation de la tangente au cercle au point BB est alors : 3x+4y51=03x+4y-51=0

Question 5

Calculer les coordonnées des points d’intersection du cercle C\mathscr{C} avec l’axe des ordonnées.

Correction
Les points d’intersection du cercle C\mathscr{C} avec l’axe des ordonnées ont une abscisse nulle. Autrement dit : x=0x=0 .
Il vient alors que :
{x2+y24x10y+4=0x=0\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +y^{2} -4x-10y+4} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {0} \end{array}\right.
{02+y24×010y+4=0x=0\left\{\begin{array}{ccc} {0^{2} +y^{2} -4\times 0-10y+4} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {0} \end{array}\right.
{y210y+4=0x=0\left\{\begin{array}{ccc} {y^{2} -10y+4} & {=} & {0} \\ {x} & {=} & {0} \end{array}\right.
Il faut donc résoudre l'équation y210y+4=0y^{2} -10y+4=0
Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi : Δ=(10)24×1×4\Delta =\left(-10\right)^{2} -4\times 1\times 4
Δ=84\Delta =84
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=10842×1x{}_{1} =\frac{10-\sqrt{84} }{2\times 1} d'où x1=521x{}_{1} =5-\sqrt{21}
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=10+842×1x{}_{2} =\frac{10+\sqrt{84} }{2\times 1} d'où x2=5+21x{}_{2} =5+\sqrt{21}
Le cercle C\mathscr{C} a deux points communs avec l’axe des ordonnées de coordonnées : (521;0)\left(5-\sqrt{21};0\right) et (5+21;0)\left(5+\sqrt{21};0\right)