Produit scalaire

Exercices types : 3ème partie - Exercice 3

10 min
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Question 1

À chacune des figures ci-dessus, associer, parmi les égalités suivantes, celle qui donne le bon résultat du calcul de AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} :
  • AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0
  • AB→⋅AC→=−AC2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AC^{2}
  • AB→⋅AC→=12AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} AB^{2}
  • AB→⋅AC→=AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB^{2}
  • AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC

Correction
La figure 33 est associée à la formule : AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0 . En effet, nous savons que si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point de ce cercle alors ce triangle est rectangle. Il en résulte donc que le triangle BACBAC est rectangle en AA . Les segments [AB]\left[AB\right] et [AC]\left[AC\right] sont orthogonaux . Finalement AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0

La figure 44 est associée à la formule : AB→⋅AC→=−AC2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AC^{2}
En effet, soit OO le projeté orthogonal de BB sur le segment [OC]\left[OC\right]. Il vient alors que :
AB→⋅AC→=AO→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} . Or AO→=−AC→\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{AC} . D'où :
AB→⋅AC→=−AC→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}
AB→⋅AC→=−∥AC→∥2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^{2}
AB→⋅AC→=−AC2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AC^{2}

La figure 11 est associée à la formule : AB→⋅AC→=12AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} AB^{2}
En effet, soit HH le projeté orthogonal de CC sur le segment [AB]\left[AB\right] . Il vient alors que :
AB→⋅AC→=AB→⋅AH→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} . Or le point HH étant le milieu du segment [AB]\left[AB\right] alors AH→=12AB→\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} . Ce qui nous donne :
AB→⋅AC→=AB→⋅12AB→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}
AB→⋅AC→=12×∥AB→∥2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}\times \left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2}
AB→⋅AC→=12AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}AB^{2}

La figure 22 est associée à la formule : AB→⋅AC→=AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB^{2}
En effet, soit CC le projeté orthogonal de BB sur le segment [AB]\left[AB\right] . Il vient alors que :
AB→⋅AC→=AB→⋅AB→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}
AB→⋅AC→=∥AB→∥2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2}
AB→⋅AC→=AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB^{2}

La figure 55 est associée à la formule : AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
En effet, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens.