À chacune des figures ci-dessus, associer, parmi les égalités suivantes, celle qui donne le bon résultat du calcul de AB⋅AC :
AB⋅AC=0
AB⋅AC=−AC2
AB⋅AC=21AB2
AB⋅AC=AB2
AB⋅AC=AB×AC
Correction
La figure 3 est associée à la formule : AB⋅AC=0 . En effet, nous savons que si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point de ce cercle alors ce triangle est rectangle. Il en résulte donc que le triangle BAC est rectangle en A . Les segments [AB] et [AC] sont orthogonaux . Finalement AB⋅AC=0
La figure 4 est associée à la formule : AB⋅AC=−AC2 En effet, soit O le projeté orthogonal de B sur le segment [OC]. Il vient alors que : AB⋅AC=AO⋅AC . Or AO=−AC . D'où : AB⋅AC=−AC⋅AC AB⋅AC=−∥∥AC∥∥2 AB⋅AC=−AC2
La figure 1 est associée à la formule : AB⋅AC=21AB2 En effet, soit H le projeté orthogonal de C sur le segment [AB] . Il vient alors que : AB⋅AC=AB⋅AH . Or le point H étant le milieu du segment [AB] alors AH=21AB . Ce qui nous donne : AB⋅AC=AB⋅21AB AB⋅AC=21×∥∥AB∥∥2 AB⋅AC=21AB2
La figure 2 est associée à la formule : AB⋅AC=AB2 En effet, soit C le projeté orthogonal de B sur le segment [AB] . Il vient alors que : AB⋅AC=AB⋅AB AB⋅AC=∥∥AB∥∥2 AB⋅AC=AB2
La figure 5 est associée à la formule : AB⋅AC=AB×AC En effet, les vecteurs AB et AC sont colinéaires et de même sens.
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