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Produit scalaire

Exercices types : 3ème partie - Exercice 3

10 min
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Question 1

À chacune des figures ci-dessus, associer, parmi les égalités suivantes, celle qui donne le bon résultat du calcul de ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} :
  • ABAC=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0
  • ABAC=AC2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AC^{2}
  • ABAC=12AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} AB^{2}
  • ABAC=AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB^{2}
  • ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC

Correction
La figure 33 est associée à la formule : ABAC=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0 . En effet, nous savons que si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point de ce cercle alors ce triangle est rectangle. Il en résulte donc que le triangle BACBAC est rectangle en AA . Les segments [AB]\left[AB\right] et [AC]\left[AC\right] sont orthogonaux . Finalement ABAC=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0

La figure 44 est associée à la formule : ABAC=AC2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AC^{2}
En effet, soit OO le projeté orthogonal de BB sur le segment [OC]\left[OC\right]. Il vient alors que :
ABAC=AOAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} . Or AO=AC\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{AC} . D'où :
ABAC=ACAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}
ABAC=AC2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^{2}
ABAC=AC2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AC^{2}

La figure 11 est associée à la formule : ABAC=12AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} AB^{2}
En effet, soit HH le projeté orthogonal de CC sur le segment [AB]\left[AB\right] . Il vient alors que :
ABAC=ABAH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} . Or le point HH étant le milieu du segment [AB]\left[AB\right] alors AH=12AB\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} . Ce qui nous donne :
ABAC=AB12AB\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}
ABAC=12×AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}\times \left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2}
ABAC=12AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}AB^{2}

La figure 22 est associée à la formule : ABAC=AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB^{2}
En effet, soit CC le projeté orthogonal de BB sur le segment [AB]\left[AB\right] . Il vient alors que :
ABAC=ABAB\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}
ABAC=AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2}
ABAC=AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB^{2}

La figure 55 est associée à la formule : ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
En effet, les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens.