Exercices types : 3^ème partie - Exercice 2

Dans un premier temps, nous allons utiliser la relation de Chasles.
En effet : $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LC}$$ et $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KC}$$
Il vient alors que :
$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = \left(\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LC}\right) \cdot \left(\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KC}\right)$$ . Nous développons maintenant :
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{KC} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}$$
Comme $$IJKL$$ est un rectangle alors :

Les droites $$\left(AL\right)$$ et $$\left(KC\right)$$ sont orthogonales donc $$\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{KC}=0$$

Les droites $$\left(LC\right)$$ et $$\left(BK\right)$$ sont orthogonales donc $$\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{BK}=0$$

Il en résulte donc que :
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{0} +\overrightarrow{0} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}$$
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}$$
Comme $$A$$ est le milieu du segment $$\left[IL\right]$$ alors $$AL=3$$ cm et $$\overrightarrow{BK}= \frac{3}{4}\overrightarrow{JK}$$ ce qui nous permet de dire que $$BK=\frac{3}{4} \times 6=4,5$$cm . Enfin, $$C$$ est le milieu du segment $$\left[LK\right]$$ donc $$LC=KC=5$$ cm
Les vecteurs $$\overrightarrow{AL}$$ et $$\overrightarrow{BK}$$ sont colinéaires de même sens donc : $$\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK}=AL\times BK$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{LC}$$ et $$\overrightarrow{KC}$$ sont colinéaires de sens opposés donc : $$\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}=LC\times KC \times \left(-1\right)$$
Il en résulte donc que :
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =AL\times BK+ LC\times KC \times \left(-1\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =3\times 4,5+ 5\times 5 \times \left(-1\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =13,5-25$$