Produit scalaire

Exercices types : 3ème partie - Exercice 2

10 min
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Question 1
Soit IJKLIJKL un rectangle tel que : IJ=10IJ=10 cm et JK=6JK=6 cm . Soit CC le milieu du segment [LK]\left[LK\right] et soit AA le milieu du segment [IL]\left[IL\right].
De plus : BK=34JK\overrightarrow{BK}= \frac{3}{4}\overrightarrow{JK}

Calculer ACBC\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}

Correction
Dans un premier temps, nous allons utiliser la relation de Chasles.
En effet : AC=AL+LC\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LC} et BC=BK+KC\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KC}
Il vient alors que :
ACBC=(AL+LC)(BK+KC)\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = \left(\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LC}\right) \cdot \left(\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KC}\right) . Nous développons maintenant :
ABBC=ALBK+ALKC+LCBK+LCKC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{KC} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}
Comme IJKLIJKL est un rectangle alors :
  • Les droites (AL)\left(AL\right) et (KC)\left(KC\right) sont orthogonales donc ALKC=0\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{KC}=0
  • Les droites (LC)\left(LC\right) et (BK)\left(BK\right) sont orthogonales donc LCBK=0\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{BK}=0
  • Il en résulte donc que :
    ABBC=ALBK+0+0+LCKC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{0} +\overrightarrow{0} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}
    ABBC=ALBK+LCKC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK} +\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}
    Comme AA est le milieu du segment [IL]\left[IL\right] alors AL=3AL=3 cm et BK=34JK\overrightarrow{BK}= \frac{3}{4}\overrightarrow{JK} ce qui nous permet de dire que BK=34×6=4,5BK=\frac{3}{4} \times 6=4,5cm . Enfin, CC est le milieu du segment [LK]\left[LK\right] donc LC=KC=5LC=KC=5 cm
    Les vecteurs AL\overrightarrow{AL} et BK\overrightarrow{BK} sont colinéaires de même sens donc : ALBK=AL×BK\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{BK}=AL\times BK
    Les vecteurs LC\overrightarrow{LC} et KC\overrightarrow{KC} sont colinéaires de sens opposés donc : LCKC=LC×KC×(1)\overrightarrow{LC} \cdot \overrightarrow{KC}=LC\times KC \times \left(-1\right)
    Il en résulte donc que :
    ABBC=AL×BK+LC×KC×(1)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =AL\times BK+ LC\times KC \times \left(-1\right)
    ABBC=3×4,5+5×5×(1)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =3\times 4,5+ 5\times 5 \times \left(-1\right)
    ABBC=13,525\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =13,5-25
    ABBC=11,5\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =-11,5