Produit scalaire

Exercices types : 3ème partie - Exercice 1

4 min
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Soit ABCABC un triangle tel que :
Question 1

Déterminer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Soient AA, BB et CC trois points du plan. On a : AB→⋅AC→=12[AB2+AC2−CB2]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[AB^{2} +AC^{2} -CB^{2} \right] . Il s'agit de l'expression du produit scalaire avec les longueurs dans un triangle.
D'après le rappel, nous savons que :
AB→⋅AC→=12[AB2+AC2−CB2]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[AB^{2} +AC^{2} -CB^{2} \right] . Il ne nous reste plus qu'à substituer par les valeurs des côtés que l'on connait :
AB→⋅AC→=12[102+82−132]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[10^{2} +8^{2} -13^{2} \right]
AB→⋅AC→=12[100+64−169]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[100 +64 -169 \right]
AB→⋅AC→=12×(−5)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times \left(-5\right)
AB→⋅AC→=−52=−2,5\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{-5}{2}=-2,5