Produit scalaire

Exercices types : 3ème partie - Exercice 1

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Question 1
Soit ABCABC un triangle tel que :

Déterminer ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Soient AA, BB et CC trois points du plan. On a : ABAC=12[AB2+AC2CB2]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[AB^{2} +AC^{2} -CB^{2} \right] . Il s'agit de l'expression du produit scalaire avec les longueurs dans un triangle.
D'après le rappel, nous savons que :
ABAC=12[AB2+AC2CB2]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[AB^{2} +AC^{2} -CB^{2} \right] . Il ne nous reste plus qu'à substituer par les valeurs des côtés que l'on connait :
ABAC=12[102+82132]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[10^{2} +8^{2} -13^{2} \right]
ABAC=12[100+64169]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left[100 +64 -169 \right]
ABAC=12×(5)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times \left(-5\right)
ABAC=52=2,5\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{-5}{2}=-2,5