Exercices types : 2^ème partie

Nous savons que $EFGH$ est un parallélogramme. Il en résulte donc que : $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$
Ainsi :
$\overrightarrow{EF} .\overrightarrow{HG} =\overrightarrow{EF} .\overrightarrow{EF}$
$\overrightarrow{EF} .\overrightarrow{HG} =EF^{2}$
$\overrightarrow{EF} .\overrightarrow{HG} =5^{2}$

Nous savons que $EFGH$ est un parallélogramme. Il en résulte donc que : $\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{HE}$ . Ainsi :
$\overrightarrow{GF} .\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{HE} .\overrightarrow{HG}$
$\overrightarrow{GF} .\overrightarrow{HG}=\left\| \overrightarrow{HE} \right\| \times \left\| \overrightarrow{HG} \right\| \times \cos \left(\widehat{EHG} \right)$
Il nous faut déterminer l'angle $\widehat{EHG}$ . Comme $EFGH$ est un parallélogramme alors $HG=EF$ .
De plus, $\widehat{EHG}=\pi-\widehat{HEF}$ d'où : $\widehat{EHG}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$
Ainsi :
$\overrightarrow{GF} .\overrightarrow{HG}=6 \times 5 \times \cos \left(\frac{5\pi}{6} \right)$
$\overrightarrow{GF} .\overrightarrow{HG}=6 \times 5 \times \left(-\frac{\sqrt{3} }{2} \right)$