Produit scalaire

Exercices types : 2ème partie - Exercice 1

12 min
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Soit EFGHEFGH un parallélogramme tel que : EF=5EF=5 cm ; EH=6EH=6 cm et FEH^=π6\widehat{FEH}=\frac{\pi}{6} .
Question 1

Calculer EF→⋅EH→\overrightarrow{EF} \cdot\overrightarrow{EH}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u⃗,v→)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\vec{u} ,\overrightarrow{v} \right)
EF→⋅EH→=∥EF→∥×∥EH→∥×cos⁡(FEH^)\overrightarrow{EF} \cdot\overrightarrow{EH} =\left\| \overrightarrow{EF} \right\| \times \left\| \overrightarrow{EH} \right\| \times \cos \left(\widehat{FEH} \right)
EF→⋅EH→=5×6×cos⁡(π6)\overrightarrow{EF} \cdot\overrightarrow{EH} =5\times 6\times \cos \left(\frac{\pi}{6} \right)
EF→⋅EH→=5×6×32\overrightarrow{EF} \cdot\overrightarrow{EH} =5\times 6\times \frac{\sqrt{3} }{2}
EF→⋅EH→=15×3\overrightarrow{EF} \cdot\overrightarrow{EH} =15\times \sqrt{3}
Question 2

Calculer EF→⋅HG→\overrightarrow{EF} \cdot\overrightarrow{HG}

Correction
    AB→⋅AB→=AB2\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AB} =AB^{2}
Nous savons que EFGHEFGH est un parallélogramme. Il en résulte donc que : EF→=HG→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}
Ainsi :
EF→⋅HG→=EF→⋅EF→\overrightarrow{EF} \cdot\overrightarrow{HG} =\overrightarrow{EF} \cdot\overrightarrow{EF}
EF→⋅HG→=EF2\overrightarrow{EF} \cdot\overrightarrow{HG} =EF^{2}
EF→⋅HG→=52\overrightarrow{EF} \cdot\overrightarrow{HG} =5^{2}
EF→⋅HG→=25\overrightarrow{EF} \cdot\overrightarrow{HG} =25

Question 3

Calculer GF→⋅HG→\overrightarrow{GF} \cdot\overrightarrow{HG}

Correction
Nous savons que EFGHEFGH est un parallélogramme. Il en résulte donc que : GF→=HE→\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{HE} . Ainsi :
GF→⋅HG→=HE→⋅HG→\overrightarrow{GF} \cdot\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{HE} \cdot\overrightarrow{HG}
GF→⋅HG→=∥HE→∥×∥HG→∥×cos⁡(EHG^)\overrightarrow{GF} \cdot\overrightarrow{HG}=\left\| \overrightarrow{HE} \right\| \times \left\| \overrightarrow{HG} \right\| \times \cos \left(\widehat{EHG} \right)
Il nous faut déterminer l'angle EHG^\widehat{EHG} . Comme EFGHEFGH est un parallélogramme alors HG=EFHG=EF .
De plus, EHG^=π−HEF^\widehat{EHG}=\pi-\widehat{HEF} d'où : EHG^=π−π6=5π6\widehat{EHG}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}
Ainsi :
GF→⋅HG→=6×5×cos⁡(5π6)\overrightarrow{GF} \cdot\overrightarrow{HG}=6 \times 5 \times \cos \left(\frac{5\pi}{6} \right)
GF→⋅HG→=6×5×(−32)\overrightarrow{GF} \cdot\overrightarrow{HG}=6 \times 5 \times \left(-\frac{\sqrt{3} }{2} \right)
GF→⋅HG→=−15×3\overrightarrow{GF} \cdot\overrightarrow{HG}=-15\times \sqrt{3}