Exercices types : 1^ère partie - Exercice 5

$$\overrightarrow{DI} \cdot\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AI}\right) \cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)$$
$$\overrightarrow{DI} \cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AI} \cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI} \cdot\overrightarrow{BC}$$
Or :

• $$\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AB}=0$$ car $$ABCD$$ est un rectangle donc les droites $$\left(DA\right)$$ et $$\left(AB\right)$$ sont perpendiculaires.
• $$\overrightarrow{AI} \cdot\overrightarrow{BC}=0$$ car $$ABCD$$ est un rectangle donc les droites $$\left(AI\right)$$ et $$\left(BC\right)$$ sont perpendiculaires.

Ainsi :
$$\overrightarrow{DI} \cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AI} \cdot\vec{AB}$$
De plus :

• les vecteurs $$\overrightarrow{DA}$$ et $$\overrightarrow{BC}$$ sont colinéaires et de sens contraires ce qui donne : $$\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{BC}=-DA\times BC$$
• les vecteurs $$\overrightarrow{AI}$$ et $$\overrightarrow{AB}$$ sont colinéaires et de même sens ce qui donne : $$\overrightarrow{AI} \cdot\overrightarrow{AB}=AI\times AB$$

Il vient alors que :
$$\overrightarrow{DI} \cdot\overrightarrow{AC}=-DA\times BC+AI\times AB$$
$$\overrightarrow{DI} \cdot\overrightarrow{AC}=-\sqrt{2} \times \sqrt{2} +1\times 2$$
$$\overrightarrow{DI} \cdot\overrightarrow{AC}=-2+2$$

Les vecteurs $$\overrightarrow{DI}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ sont orthogonaux donc les droites $$\left(DI\right)$$ et $$\left(AC\right)$$ sont perpendiculaires.