Exercices types : 1^ère partie - Exercice 4

Soit $$\Delta$$ la hauteur issue de $$A$$ dans le triangle $$ABC$$. Soit $$M\left(x;y\right)$$ un point appartenant à la hauteur $$\Delta$$. Il en résulte donc que les segments $$\left[AM\right]$$ et $$\left[BC\right]$$ sont perpendiculaires.
Ainsi : $$\overrightarrow{AM} \cdot\overrightarrow{BC}=0$$.
Calculons maintenant les vecteurs $$\overrightarrow{AM}$$ et $$\overrightarrow{BC}$$.
$$\overrightarrow{AM}\left(x-4;y+6\right)$$ et $$\overrightarrow{BC}\left(12;3\right)$$
D'où :
Ainsi : $$\overrightarrow{AM} \cdot\overrightarrow{BC}=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(x-4\right)\times 12 + \left(y+6\right)\times 3=0$$
$$12x-48+3y+18=0$$
$$12x+3y-30=0$$
Ainsi :
La droite $$\Delta$$ a bien pour équation : $$4x+y-10=0$$.

Nous allons répondre de deux méthodes différentes à cette question, afin d'enrichir notre registre mathématique.
PREMIERE METHODE
On note $$I$$ le milieu de $$\left[AB\right]$$. Le point $$I$$ est alors le centre du cercle $$\Gamma$$.
Il vient alors que : $$I\left(1;-\frac{5}{2}\right)$$
De plus, le segment $$\left[IA\right]$$ est un rayon du cercle $$\Gamma$$.
$$IA=\sqrt{\left(4-1\right)^{2} +\left(\left(-6\right)^{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)^{2} \right)}$$
$$IA=\frac{\sqrt{85}}{2}$$. Donc cela signifie que le rayon $$r$$ du Cercle de centre $$I$$ est égale à $$r=\frac{\sqrt{85}}{2}$$
$$\left(x-1\right)^{2} +\left(y-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^{2} =\left(\frac{\sqrt{85}}{2} \right)^{2}$$
$$x^{2}-2x+1+y^{2}+5y+\frac{25}{4}=\frac{85}{4}$$
Ainsi :
DEUXIEME METHODE
Soit $$M\left(x;y\right)$$ un point appartenant au cercle $$\Gamma$$ de diamètre $$\left[AB\right]$$.
Il en résulte donc que le triangle $$AMB$$ est rectangle en $$M$$, d'où :
$$\vec{AM} .\vec{BM}=0$$ .
Ainsi : $$\vec{AM}\left(x-4;y+6\right)$$ et $$\vec{BC}\left(x+2;y-1\right)$$
$$\vec{AM} .\vec{BM}=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(x-4\right)\left(x+2\right)+\left(y+6\right)\left(y-1\right)=0$$
$$x^{2}+2x-4x-8+y^{2}-y+6y-6=0$$
Ainsi :

Pour déterminer les coordonnées des points d'intersection de $$\Delta$$ et $$\Gamma$$, il nous faut résoudre le système suivant composé des équations respectives de $$\Delta$$ et $$\Gamma$$. Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{cccc} {x^{2}+y^{2}-2x+5y-14} & {=} & {0} \\ {4x+y-10} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{cccc} {x^{2}+y^{2}-2x+5y-14} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-4x+10} \end{array}\right.$$
Nous allons substituer tous les $$y$$ de la 1ère ligne du système par $$-4x+10$$. Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{cccc} {x^{2}+\left(-4x+10\right)^{2}-2x+5\times \left(-4x+10\right)-14} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-4x+10} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{cccc} {x^{2}+16x^{2}-80x+100-2x-20x+50-14} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-4x+10} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{cccc} {17x^{2}-102x+136} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-4x+10} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{cccc} {x^{2}-6x+8} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-4x+10} \end{array}\right.$$
Il nous faut maintenant résoudre l'équation $$x^{2}-6x+8=0$$. Il s'agit d'une équation du second degré.
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$ ainsi : $$\Delta =4$$
Comme $$\Delta >0$$ alors le numérateur admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{6-\sqrt{4} }{2}$$ d'où $$x{}_{1} =2$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{6-\sqrt{4} }{2}$$ d'où $$x{}_{2} =4$$
Pour $$x=2$$ alors $$y=-4\times 2+10=2$$
Pour $$x=4$$ alors $$y=-4\times 4+10=-6$$
Les coordonnées des points d'intersection de $$\Delta$$ et $$\Gamma$$ sont : $$H\left(2;2\right)$$ et $$A\left(4;-6\right)$$ .

Calculons :
$$6x_{E}+7y_{E}+54=6\times \left(-2\right)+7\times \left(-6\right)+54$$
$$6x_{E}+7y_{E}+54=-12-42+54$$
Ainsi :
Il en résulte que le point $$E$$ est sur la droite $$\left(d\right)$$ d'équation : $$6x+7y+54=0$$.

Calculons :
$$x_{E}^{2}+y_{E}^{2}-2x_{E}+5y_{E}-14=\left(-2\right)^{2}+\left(-6\right)^{2}-2\times \left(-2\right)+5\times \left(-6\right)-14$$
Ainsi :
Il en résulte que le point $$E$$ appartient bien au cercle $$\Gamma$$.

La droite $$\left(d\right)$$ d'équation : $$6x+7y+54=0$$ admet un vecteur normal $$\vec{n}\left(6;7\right)$$.
Si la droite $$\left(d\right)$$ est tangente au cercle $$\Gamma$$ en $$E$$ alors il faut que les vecteurs $$\vec{IE}$$ et $$\vec{n}$$ soient colinéaires.
Or $$\vec{IE}\left(-3;-\frac{7}{2}\right)$$. On vérifie facilement que : $$\vec{n}=2\times \vec{IE}$$. Donc les les vecteurs $$\vec{IE}$$ et $$\vec{n}$$ sont bien colinéaires.
La droite $$\left(d\right)$$ est tangente au cercle $$\Gamma$$ en $$E$$.