Exercices types : 1^ère partie - Exercice 3

Déterminons les vecteurs $$\overrightarrow{BD}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$.
Ainsi :
$$\overrightarrow{BD}\left(8;-8\right)$$ et $$\overrightarrow{AC}\left(-4;-4\right)$$
Il vient alors que :
$$\overrightarrow{BD} \cdot\overrightarrow{AC}=8\times\left(-4\right)+ \left(-8\right)\times\left(-4\right)$$
D'où :

Il en résulte que les diagonales $$\left[BD\right]$$ et $$\left[AC\right]$$ sont perpendiculaires.

Nous avons : $$\overrightarrow{AB}\left(-6;2\right)$$ et $$\overrightarrow{DC}\left(-6;2\right)$$
Donc :
Le quadrilatère $$ABCD$$ est alors un parallélogramme.

Nous savons que $$ABCD$$ est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Donc $$ABCD$$ est un losange.
Pour savoir si $$ABCD$$ est un carré, il faut vérifier si deux cotés consécutifs sont perpendiculaires.
Nous avons $$\overrightarrow{AB}\left(-6;2\right)$$ et $$\overrightarrow{AD}\left(2;-6\right)$$ alors :
$$\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=\left(-6\right)\times2 + 2\times\left(-6\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=-24\ne0$$
Il en résulte que $$ABCD$$ n'est pas un carré mais un losange.