Dans un repère orthonormé (0;i;j) , on a : A(3;5) , B(−3;7) , C(−1;1) et D(5;−1)
Question 1
Calculer BD⋅AC
Correction
Déterminons les vecteurs BD et AC. Ainsi : BD(8;−8) et AC(−4;−4) Il vient alors que : BD⋅AC=8×(−4)+(−8)×(−4) D'où :
BD⋅AC=0
Il en résulte que les diagonales [BD] et [AC] sont perpendiculaires.
Question 2
Montrer que AB=DC
Correction
Nous avons : AB(−6;2) et DC(−6;2) Donc :
AB=DC
Le quadrilatère ABCD est alors un parallélogramme.
Question 3
Quelle est la nature du parallélogramme ABCD.
Correction
Nous savons que ABCD est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Donc ABCD est un losange. Pour savoir si ABCD est un carré, il faut vérifier si deux cotés consécutifs sont perpendiculaires. Nous avons AB(−6;2) et AD(2;−6) alors : AB⋅AD=(−6)×2+2×(−6) AB⋅AD=−24=0 Il en résulte que ABCD n'est pas un carré mais un losange.