Produit scalaire

Exercices types : 1ère partie - Exercice 2

20 min
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Soit ABCDABCD un parallélogramme tel que : AB=5AB = 5 ; AD=4AD = 4 et AC=7AC = 7.
Question 1

Déterminer la valeur exacte de : AB→⋅AD→\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}

Correction
On appelle produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v}, le nombre réel noté u→.v→\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} tel que :
u→⋅v→=12(∥u→+v→∥2−∥u→∥2−∥v→∥2)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(∥AB→+AD→∥2−∥AB→∥2−∥AD→∥2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
Comme ABCDABCD est un parallélogramme, on a : AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, il vient alors que :
AB→⋅AD→=12(∥AB→+BC→∥2−∥AB→∥2−∥AD→∥2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(∥AC→∥2−∥AB→∥2−∥AD→∥2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(AC2−AB2−AD2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(AC^{2} -AB^{2} -AD^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(72−52−42)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(7^{2} -5^{2} -4^{2} \right)
AB→⋅AD→=12×8\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \times 8
Ainsi :
AB→⋅AD→=4\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=4

Question 2

En déduire la mesure de l'angle BAD^\widehat{BAD}. Donnez un arrondi à 0,10,1 degré près.

Correction
Pour déterminer la mesure de l'angle BAD^\widehat{BAD}, nous allons utiliser la formule du produit scalaire utilisant le cosinus.
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
AB→⋅AD→=AB×AD×cos⁡(BAD^)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =AB\times AD\times\cos \left(\widehat{BAD}\right)
cos⁡(BAD^)=AB→⋅AD→AB×AD\cos \left(\widehat{BAD}\right)=\frac{\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} }{AB\times AD}
cos⁡(BAD^)=45×4\cos \left(\widehat{BAD}\right)=\frac{4}{5\times 4}
cos⁡(BAD^)=15\cos \left(\widehat{BAD}\right)=\frac{1}{5}
BAD^≈78,5\widehat{BAD}\approx 78,5°

Question 3

Développer : (BA→+AD→)2\left(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AD} \right)^{2}.

Correction
(BA→+AD→)2=BA2+2BA→⋅AD→+AD2\left(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AD} \right)^{2} =BA^{2} +2\overrightarrow{BA} \cdot\overrightarrow{AD} +AD^{2}
Or : BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}, ainsi :
(BA→+AD→)2=BA2−2AB→⋅AD→+AD2\left(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AD} \right)^{2} =BA^{2} -2\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} +AD^{2}

Question 4

En déduire la valeur exacte de la longueur BCBC.

Correction
D'après la question précédente, on sait que :
(BA→+AD→)2=BA2−2AB→⋅AD→+AD2\left(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AD} \right)^{2} =BA^{2} -2\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} +AD^{2} . Il vient alors que :
(BA→+AD→)2=52−2×4+42\left(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AD} \right)^{2} =5^{2} -2\times4 +4^{2}
(BA→+AD→)2=33\left(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AD} \right)^{2} =33
Or : BA→+AD→=BD→\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}
Ainsi :
(BD→)2=33\left(\overrightarrow{BD} \right)^{2} =33
BD2=33BD^{2} =33
Finalement :
BD=33BD =\sqrt{33}