Soit ABCD un parallélogramme tel que : AB=5 ; AD=4 et AC=7.
Question 1
Déterminer la valeur exacte de : AB⋅AD
Correction
On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v, le nombre réel noté u.v tel que : u⋅v=21(∥∥u+v∥∥2−∥∥u∥∥2−∥∥v∥∥2)
AB⋅AD=21(∥∥AB+AD∥∥2−∥∥AB∥∥2−∥∥AD∥∥2) Comme ABCD est un parallélogramme, on a : AD=BC, il vient alors que : AB⋅AD=21(∥∥AB+BC∥∥2−∥∥AB∥∥2−∥∥AD∥∥2) AB⋅AD=21(∥∥AC∥∥2−∥∥AB∥∥2−∥∥AD∥∥2) AB⋅AD=21(AC2−AB2−AD2) AB⋅AD=21(72−52−42) AB⋅AD=21×8 Ainsi :
AB⋅AD=4
Question 2
En déduire la mesure de l'angle BAD. Donnez un arrondi à 0,1 degré près.
Correction
Pour déterminer la mesure de l'angle BAD, nous allons utiliser la formule du produit scalaire utilisant le cosinus.
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v non nuls est défini par :
D'après la question précédente, on sait que : (BA+AD)2=BA2−2AB⋅AD+AD2. Il vient alors que : (BA+AD)2=52−2×4+42 (BA+AD)2=33 Or : BA+AD=BD Ainsi : (BD)2=33 BD2=33 Finalement :
BD=33
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