Le produit scalaire de deux vecteurs u et v non nuls est défini par :
u⋅v=∥∥∥u∥∥∥×∥∥∥v∥∥∥×cos(u,v)
EB=AB−AE ainsi EB=7−4=3 Les vecteurs EB et CD sont colinéaires mais de sens opposés, il en résulte donc que : EB⋅CD=∥∥∥EB∥∥∥×∥∥∥CD∥∥∥×cos(π) EB⋅CD=3×4×(−1) Ainsi :
EB.⋅CD=−12
2
DA⋅AC
Correction
Le triangle DAC est isocèle et rectangle en D, donc l'angle DAC=4π radians. Nous allons commencer par calculer la mesure AC à l'aide de la trigonométrie. En effet : cos(DAC)=ACAD AC=cos(DAC)AD AC=cos(4π)4 AC=(22)4
AC=42
Ainsi : DA⋅AC=−AD⋅AC. Ici, nous faisons intervenir −AD afin de faire intervenir dans la formule l'angle DA^C=4π qui va correspondre à l'angle orienté (AD,AC) Ainsi : DA⋅AC=−∥∥∥AD∥∥∥×∥∥∥AC∥∥∥×cos(AD,AC) DA⋅AC=−4×42×cos(4π) DA⋅AC=−162×22
DA⋅AC=−16
3
DE⋅CA
Correction
AECD est un carré, donc ses diagonales sont perpendiculaires, donc les vecteurs DE et CA sont orthogonaux. Donc :
DE⋅CA=0
4
BA⋅BC
Correction
E est le projeté orthogonal de C sur la droite (BA). Donc : BA⋅BC=BE⋅BC BA⋅BC=BE⋅BA Les vecteurs BE et BA sont colinéaires et de même sens , il en résulte donc que : BA⋅BC=∥∥∥BE∥∥∥×∥∥∥BA∥∥∥×cos(0) BA⋅BC=3×7×1 Ainsi :
BA⋅BC=21
5
DA⋅CB
Correction
D est le projeté orthogonal de C sur (DA) et A est le projeté orthogonal de B sur (DA). Donc : DA⋅CB=DA⋅DA Les vecteurs DA et DA sont colinéaires et de même sens , il en résulte donc que : DA⋅CB=∥∥∥DA∥∥∥×∥∥∥DA∥∥∥×cos(0) DA⋅CB=4×4×1 Ainsi :
DA⋅CB=16
Exercice 2
Soit ABCD un parallélogramme tel que : AB=5 ; AD=4 et AC=7.
1
Déterminer la valeur exacte de : AB⋅AD
Correction
On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v, le nombre réel noté u.v tel que : u⋅v=21(∥∥∥u+v∥∥∥2−∥∥∥u∥∥∥2−∥∥∥v∥∥∥2)
AB⋅AD=21(∥∥∥AB+AD∥∥∥2−∥∥∥AB∥∥∥2−∥∥∥AD∥∥∥2) Comme ABCD est un parallélogramme, on a : AD=BC, il vient alors que : AB⋅AD=21(∥∥∥AB+BC∥∥∥2−∥∥∥AB∥∥∥2−∥∥∥AD∥∥∥2) AB⋅AD=21(∥∥∥AC∥∥∥2−∥∥∥AB∥∥∥2−∥∥∥AD∥∥∥2) AB⋅AD=21(AC2−AB2−AD2) AB⋅AD=21(72−52−42) AB⋅AD=21×8 Ainsi :
AB⋅AD=4
2
En déduire la mesure de l'angle BAD. Donnez un arrondi à 0,1 degré près.
Correction
Pour déterminer la mesure de l'angle BAD, nous allons utiliser la formule du produit scalaire utilisant le cosinus.
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v non nuls est défini par :
D'après la question précédente, on sait que : (BA+AD)2=BA2−2AB⋅AD+AD2. Il vient alors que : (BA+AD)2=52−2×4+42 (BA+AD)2=33 Or : BA+AD=BD Ainsi : (BD)2=33 BD2=33 Finalement :
BD=33
Exercice 3
Dans un repère orthonormé (0;i;j) , on a : A(3;5) , B(−3;7) , C(−1;1) et D(5;−1)
1
Calculer BD⋅AC
Correction
Déterminons les vecteurs BD et AC. Ainsi : BD(8;−8) et AC(−4;−4) Il vient alors que : BD⋅AC=8×(−4)+(−8)×(−4) D'où :
BD⋅AC=0
Il en résulte que les diagonales [BD] et [AC] sont perpendiculaires.
2
Montrer que AB=DC
Correction
Nous avons : AB(−6;2) et DC(−6;2) Donc :
AB=DC
Le quadrilatère ABCD est alors un parallélogramme.
3
Quelle est la nature du parallélogramme ABCD.
Correction
Nous savons que ABCD est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Donc ABCD est un losange. Pour savoir si ABCD est un carré, il faut vérifier si deux cotés consécutifs sont perpendiculaires. Nous avons AB(−6;2) et AD(2;−6) alors : AB⋅AD=(−6)×2+2×(−6) AB⋅AD=−24=0 Il en résulte que ABCD n'est pas un carré mais un losange.
Exercice 4
Dans un repère orthonormé (0;i;j) , on a : A(4;−6) , B(−2;1) , C(10;4). On note I le milieu de [AB] et Γ le cercle de diamètre [AB]. Soit Δ la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
1
Faire une figure
Correction
2
Démontrer que Δ a pour équation : 4x+y−10=0.
Correction
Soit Δ la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Soit M(x;y) un point appartenant à la hauteur Δ. Il en résulte donc que les segments [AM] et [BC] sont perpendiculaires. Ainsi : AM⋅BC=0. Calculons maintenant les vecteurs AM et BC. AM(x−4;y+6) et BC(12;3) D'où : Ainsi : AM⋅BC=0 équivaut successivement à : (x−4)×12+(y+6)×3=0 12x−48+3y+18=0 12x+3y−30=0 Ainsi :
4x+y−10=0
La droite Δ a bien pour équation : 4x+y−10=0.
3
Démontrer que le cercle Γ de diamètre [AB] a pour équation : x2+y2−2x+5y−14=0
Correction
L'équation d'un cercle C de centre Ω(a;b) et de rayon r, dans un repère orthonormé est : (x−a)2+(y−b)2=r2
Nous allons répondre de deux méthodes différentes à cette question, afin d'enrichir notre registre mathématique. PREMIERE METHODE On note I le milieu de [AB]. Le point I est alors le centre du cercle Γ. Il vient alors que : I(1;−25) De plus, le segment [IA] est un rayon du cercle Γ. IA=(4−1)2+((−6)2−(−25)2) IA=285. Donc cela signifie que le rayon r du Cercle de centre I est égale à r=285 (x−1)2+(y−(−25))2=(285)2 x2−2x+1+y2+5y+425=485 Ainsi :
x2+y2−2x+5y−14=0
DEUXIEME METHODE Soit M(x;y) un point appartenant au cercle Γ de diamètre [AB].
Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés alors ce triangle est rectangle
Il en résulte donc que le triangle AMB est rectangle en M, d'où : AM.BM=0 . Ainsi : AM(x−4;y+6) et BC(x+2;y−1) AM.BM=0 équivaut successivement à : (x−4)(x+2)+(y+6)(y−1)=0 x2+2x−4x−8+y2−y+6y−6=0 Ainsi :
x2+y2−2x+5y−14=0
4
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Δ et Γ.
Correction
Pour déterminer les coordonnées des points d'intersection de Δ et Γ, il nous faut résoudre le système suivant composé des équations respectives de Δ et Γ. Il vient alors que : {x2+y2−2x+5y−144x+y−10==00 équivaut successivement à : {x2+y2−2x+5y−14y==0−4x+10 Nous allons substituer tous les y de la 1ère ligne du système par −4x+10. Il vient alors que : {x2+(−4x+10)2−2x+5×(−4x+10)−14y==0−4x+10 {x2+16x2−80x+100−2x−20x+50−14y==0−4x+10 {17x2−102x+136y==0−4x+10 {x2−6x+8y==0−4x+10 Il nous faut maintenant résoudre l'équation x2−6x+8=0. Il s'agit d'une équation du second degré. Calcul du discriminant Δ=b2−4ac ainsi : Δ=4 Comme Δ>0 alors le numérateur admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=26−4 d'où x1=2 x2=2a−b+Δ ainsi x2=26−4 d'où x2=4 Pour x=2 alors y=−4×2+10=2 Pour x=4 alors y=−4×4+10=−6 Les coordonnées des points d'intersection de Δ et Γ sont : H(2;2) et A(4;−6) .
On considère le point E(−2;−6).
5
Justifier que le point E est sur la droite (d) d'équation : 6x+7y+54=0
Correction
Calculons : 6xE+7yE+54=6×(−2)+7×(−6)+54 6xE+7yE+54=−12−42+54 Ainsi :
6xE+7yE+54=0
Il en résulte que le point E est sur la droite (d) d'équation : 6x+7y+54=0.
6
Justifier que le point E appartient au cercle Γ.
Correction
Calculons : xE2+yE2−2xE+5yE−14=(−2)2+(−6)2−2×(−2)+5×(−6)−14 Ainsi :
xE2+yE2−2xE+5yE−14=0
Il en résulte que le point E appartient bien au cercle Γ.
7
Démontrer que la droite (d) est tangente au cercle Γ en E.
Correction
La droite (d) d'équation : 6x+7y+54=0 admet un vecteur normal n(6;7). Si la droite (d) est tangente au cercle Γ en E alors il faut que les vecteurs IE et n soient colinéaires. Or IE(−3;−27). On vérifie facilement que : n=2×IE. Donc les les vecteurs IE et n sont bien colinéaires. La droite (d) est tangente au cercle Γ en E.
Exercice 5
Soit ABCD un rectangle tel que AB=2 et AD=2 . Soit I le milieu de [AB]
1
Montrer que les droites (DI) et (AC) sont perpendiculaires.
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