Exercices types : 1^ère partie - Exercice 1

$$EB=AB-AE$$ ainsi $$EB=7-4=3$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{EB}$$ et $$\overrightarrow{CD}$$ sont colinéaires mais de sens opposés, il en résulte donc que :
$$\overrightarrow{EB} \cdot\overrightarrow{CD} =\left\| \overrightarrow{EB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{CD} \right\| \times \cos \left(\pi \right)$$
$$\overrightarrow{EB} \cdot\overrightarrow{CD} =3\times4\times\left(-1\right)$$
Ainsi :

Le triangle $$DAC$$ est isocèle et rectangle en $$D$$, donc l'angle $$\widehat{DAC}=\frac{\pi }{4}$$ radians. Nous allons commencer par calculer la mesure $$AC$$ à l'aide de la trigonométrie. En effet :
$$\cos \left(\widehat{DAC}\right)=\frac{AD}{AC}$$
$$AC=\frac{AD}{\cos \left(\widehat{DAC}\right)}$$
$$AC=\frac{4}{\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)}$$
$$AC=\frac{4}{\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)}$$

Ainsi :
$$\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AD} \cdot\overrightarrow{AC}$$. Ici, nous faisons intervenir $$-\overrightarrow{AD}$$ afin de faire intervenir dans la formule l'angle $$\widehat{DAC}=\frac{\pi }{4}$$ qui va correspondre à l'angle orienté $$\left(\overrightarrow{AD} ,\overrightarrow{AC} \right)$$
Ainsi :
$$\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AC} =-\left\| \overrightarrow{AD} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AD} ,\overrightarrow{AC} \right)$$
$$\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AC} =-4\times 4\sqrt{2} \times \cos \left(\frac{\pi }{4} \right)$$
$$\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AC} =-16\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2} }{2}$$

$$AECD$$ est un carré, donc ses diagonales sont perpendiculaires, donc les vecteurs $$\overrightarrow{DE}$$ et $$\overrightarrow{CA}$$ sont orthogonaux. Donc :

$$E$$ est le projeté orthogonal de $$C$$ sur la droite $$\left(BA\right)$$. Donc :
$$\overrightarrow{BA} \cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE} \cdot\overrightarrow{BC}$$
$$\overrightarrow{BA} \cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE} \cdot\overrightarrow{BA}$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{BE}$$ et $$\overrightarrow{BA}$$ sont colinéaires et de même sens , il en résulte donc que :
$$\overrightarrow{BA} \cdot\overrightarrow{BC} =\left\| \overrightarrow{BE} \right\| \times \left\| \overrightarrow{BA} \right\| \times \cos \left(0 \right)$$
$$\overrightarrow{BA} \cdot\overrightarrow{BC} =3\times7\times1$$
Ainsi :

$$D$$ est le projeté orthogonal de $$C$$ sur $$\left(DA\right)$$ et $$A$$ est le projeté orthogonal de $$B$$ sur $$\left(DA\right)$$. Donc :
$$\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{DA}$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{DA}$$ et $$\overrightarrow{DA}$$ sont colinéaires et de même sens , il en résulte donc que :
$$\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{CB} =\left\| \overrightarrow{DA} \right\| \times \left\| \overrightarrow{DA} \right\| \times \cos \left(0 \right)$$
$$\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{CB} =4\times4\times1$$
Ainsi :