Produit scalaire

Exercices types : 1ère partie - Exercice 1

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Question 1
Le trapèze rectangle de la figure ci-contre est tel que : AB=7AB = 7, AD=4AD = 4, CD=4CD = 4.
Calculer les produits scalaires suivants :

EBCD\overrightarrow{EB} \cdot\overrightarrow{CD}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    uv=u×v×cos(u,v)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\vec{u} ,\vec{v} \right)
EB=ABAEEB=AB-AE ainsi EB=74=3EB=7-4=3
Les vecteurs EB\overrightarrow{EB} et CD\overrightarrow{CD} sont colinéaires mais de sens opposés, il en résulte donc que :
EBCD=EB×CD×cos(π)\overrightarrow{EB} \cdot\overrightarrow{CD} =\left\| \overrightarrow{EB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{CD} \right\| \times \cos \left(\pi \right)
EBCD=3×4×(1)\overrightarrow{EB} \cdot\overrightarrow{CD} =3\times4\times\left(-1\right)
Ainsi :
EB.CD=12\overrightarrow{EB} .\cdot\overrightarrow{CD} =-12
Question 2

DAAC\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AC}

Correction
Le triangle DACDAC est isocèle et rectangle en DD, donc l'angle DAC^=π4\widehat{DAC}=\frac{\pi }{4} radians. Nous allons commencer par calculer la mesure ACAC à l'aide de la trigonométrie. En effet :
cos(DAC^)=ADAC\cos \left(\widehat{DAC}\right)=\frac{AD}{AC}
AC=ADcos(DAC^)AC=\frac{AD}{\cos \left(\widehat{DAC}\right)}
AC=4cos(π4)AC=\frac{4}{\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)}
AC=4(22)AC=\frac{4}{\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)}
AC=42AC=4\sqrt{2}

Ainsi :
DAAC=ADAC\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AD} \cdot\overrightarrow{AC}. Ici, nous faisons intervenir AD-\overrightarrow{AD} afin de faire intervenir dans la formule l'angle DA^C=π4D\hat{A}C=\frac{\pi }{4} qui va correspondre à l'angle orienté (AD,AC)\left(\overrightarrow{AD} ,\overrightarrow{AC} \right)
Ainsi :
DAAC=AD×AC×cos(AD,AC)\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AC} =-\left\| \overrightarrow{AD} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AD} ,\overrightarrow{AC} \right)
DAAC=4×42×cos(π4)\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AC} =-4\times 4\sqrt{2} \times \cos \left(\frac{\pi }{4} \right)
DAAC=162×22\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AC} =-16\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2} }{2}
DAAC=16\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{AC} =-16

Question 3

DECA\overrightarrow{DE} \cdot\overrightarrow{CA}

Correction
AECDAECD est un carré, donc ses diagonales sont perpendiculaires, donc les vecteurs DE\overrightarrow{DE} et CA\overrightarrow{CA} sont orthogonaux. Donc :
DECA=0\overrightarrow{DE} \cdot\overrightarrow{CA}=0
Question 4

BABC\overrightarrow{BA} \cdot\overrightarrow{BC}

Correction
EE est le projeté orthogonal de CC sur la droite (BA)\left(BA\right). Donc :
BABC=BEBC\overrightarrow{BA} \cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE} \cdot\overrightarrow{BC}
BABC=BEBA\overrightarrow{BA} \cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE} \cdot\overrightarrow{BA}
Les vecteurs BE\overrightarrow{BE} et BA\overrightarrow{BA} sont colinéaires et de même sens , il en résulte donc que :
BABC=BE×BA×cos(0)\overrightarrow{BA} \cdot\overrightarrow{BC} =\left\| \overrightarrow{BE} \right\| \times \left\| \overrightarrow{BA} \right\| \times \cos \left(0 \right)
BABC=3×7×1\overrightarrow{BA} \cdot\overrightarrow{BC} =3\times7\times1
Ainsi :
BABC=21\overrightarrow{BA} \cdot\overrightarrow{BC} =21
Question 5

DACB\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{CB}

Correction
DD est le projeté orthogonal de CC sur (DA)\left(DA\right) et AA est le projeté orthogonal de BB sur (DA)\left(DA\right). Donc :
DACB=DADA\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{DA}
Les vecteurs DA\overrightarrow{DA} et DA\overrightarrow{DA} sont colinéaires et de même sens , il en résulte donc que :
DACB=DA×DA×cos(0)\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{CB} =\left\| \overrightarrow{DA} \right\| \times \left\| \overrightarrow{DA} \right\| \times \cos \left(0 \right)
DACB=4×4×1\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{CB} =4\times4\times1
Ainsi :
DACB=16\overrightarrow{DA} \cdot\overrightarrow{CB} =16