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Produit scalaire

Comment étudier l'ensemble des points MM vérifiant la relation MA2+MB2=kMA^{2} +MB^{2} =k - Exercice 3

5 min
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Question 1
Soient AA et BB deux points du plan tels que AB=4AB=4 .

Soit kk un réel. Déterminer les valeurs de kk tels que l'ensemble des points MM du plan vérifiant MA2+MB2=kMA^{2} +MB^{2} =k soit un cercle.

Correction
Soit II le milieu du segment [AB]\left[AB\right]. On applique la formule de la médiane .
    Formule de la médiane
  • Pour tout point MM du plan, on a :
    MA2+MB2=2MI2+AB22MA^{2} +MB^{2} =2MI^{2} +\frac{AB^{2} }{2}
    où II est le milieu du segment [AB]\left[AB\right]
Comme MA2+MB2=kMA^{2} +MB^{2} =k et que MA2+MB2=2MI2+AB22MA^{2} +MB^{2} =2MI^{2} +\frac{AB^{2} }{2} on a alors :
2MI2+AB22=k2MI^{2} +\frac{AB^{2} }{2} =k équivaut successivement à :
2MI2+422=k2MI^{2} +\frac{4^{2} }{2} =k
2MI2+162=k2MI^{2} +\frac{16}{2} =k
2MI2+8=k2MI^{2} +8=k
2MI2=k−82MI^{2} =k-8
MI2=k−82MI^{2} =\frac{k-8}{2}
Pour que l'ensemble des points MM du plan vérifiant MA2+MB2=kMA^{2} +MB^{2} =k soit un cercle, il faut que k−82>0\frac{k-8}{2}>0 autrement dit k−8>0k-8>0 (car le dénominateur est strictement positif)
Ainsi :
Les valeurs de kk tels que l'ensemble des points MM du plan vérifiant MA2+MB2=kMA^{2} +MB^{2} =k soit un cercle sont les solutions de l'inéquation k−8>0⇔k>8k-8>0\Leftrightarrow k>8 .
Il faut donc que k∈]8;+∞[k\in \left]8;+\infty \right[ .
Ici, nous avons résolu k−8>0k-8>0 et non pas k−8≥0k-8 \ge 0 car si la valeur de k−8k-8 est nulle alors nous n'aurions pas de cercle mais uniquement un point . Cela voudrait dire que les points MM et II seraient confondus.