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Comment étudier l'ensemble des points MM vérifiant la relation MA2+MB2=kMA^{2} +MB^{2} =k - Exercice 2

5 min
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Question 1
Soient AA et BB deux points du plan tels que AB=8AB=8 .

Déterminer l'ensemble des points MM du plan vérifiant MA2+MB2=132MA^{2} +MB^{2} =132 .

Correction
Soit II le milieu du segment [AB]\left[AB\right]. On applique la formule de la médiane .
    Formule de la médiane
  • Pour tout point MM du plan, on a :
    MA2+MB2=2MI2+AB22MA^{2} +MB^{2} =2MI^{2} +\frac{AB^{2} }{2}
    II est le milieu du segment [AB]\left[AB\right]
Comme MA2+MB2=132MA^{2} +MB^{2} =132 et que MA2+MB2=2MI2+AB22MA^{2} +MB^{2} =2MI^{2} +\frac{AB^{2} }{2} on a alors :
2MI2+AB22=1322MI^{2} +\frac{AB^{2} }{2} =132 équivaut successivement à :
2MI2+822=1322MI^{2} +\frac{8^{2} }{2} =132
2MI2+642=1322MI^{2} +\frac{64}{2} =132
2MI2+32=1322MI^{2} +32=132
2MI2=132322MI^{2} =132-32
2MI2=1002MI^{2} =100
MI2=1002MI^{2} =\frac{100}{2}
MI2=50MI^{2} =50
MI=50MI=\sqrt{50} car MIMI correspond à une distance donc MI0MI \ge 0
MI=25×2MI=\sqrt{25\times 2}
MI=25×2MI=\sqrt{25} \times \sqrt{2}
MI=52MI=5\sqrt{2}

L'ensemble des points MM vérifiant MA2+MB2=132MA^{2} +MB^{2} =132 est le cercle C\mathscr{C} de centre II et de rayon 525\sqrt{2} .