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Calculer une mesure avec la formule d'AL-KASHI - Exercice 5

4 min
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Question 1

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur UVUV à 10−210^{-2} près.

Correction

Dans un triangle quelconque ABCABC en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :
  • a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right) ; b2=a2+c2−2accos⁡(B^)b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right) ; c2=a2+b2−2abcos⁡(C^)c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right)
D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
UV2=RU2+RV2−2×RU×RV×cos⁡(R^)UV^{2} =RU^{2} +RV^{2} -2\times RU\times RV\times \cos \left(\widehat{R}\right)
UV2=7,72+8,92−2×7,7×8,9×cos⁡(π4)UV^{2} =7,7^{2} +8,9^{2} -2\times 7,7\times 8,9\times \cos \left(\frac{\pi }{4} \right)
UV2=59,29+79,21−137,06×22UV^{2} =59,29+79,21-137,06\times \frac{\sqrt{2} }{2}
UV2=138,5−137,06×22UV^{2} =138,5-137,06\times \frac{\sqrt{2} }{2}
UV=138,5−137,06×22UV=\sqrt{138,5-137,06\times \frac{\sqrt{2} }{2} }
UV≈6,45UV\approx 6,45 cm