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Calculer une mesure avec la formule d'AL-KASHI - Exercice 1

4 min
10
Question 1

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur ACAC à 10−210^{-2} près.

Correction

Dans un triangle quelconque ABCABC en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :
  • a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right) ; b2=a2+c2−2accos⁡(B^)b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right) ; c2=a2+b2−2abcos⁡(C^)c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right)
D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
AC2=AB2+BC2−2×AB×BCcos⁡(B^)AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} -2\times AB\times BC\cos \left(\widehat{B}\right)
AC2=6,72+11,22−2×6,7×11,2cos⁡(45)AC^{2} =6,7^{2} +11,2^{2} -2\times 6,7\times 11,2\cos \left(45\right)
AC2=44,89+125,44−150,08×22AC^{2} =44,89+125,44-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2}
AC2=170,33−150,08×22AC^{2} =170,33-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2}
AC=170,33−150,08×22AC=\sqrt{170,33-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2} }
AC≈8,01AC\approx 8,01 cm