Produit scalaire

Calculer un angle avec la formule d'AL-KASHI - Exercice 5

4 min
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Question 1

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer une mesure de l'angle PRL^\widehat{PRL} à 0,1∘0,1{}^\circ près .

Correction
D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
PL2=RL2+RP2−2×RL×RPcos⁡(R^)PL^{2} =RL^{2} +RP^{2} -2\times RL\times RP\cos \left(\widehat{R}\right)
5,42=92+12,92−2×9×12,9cos⁡(R^)5,4^{2} =9^{2} +12,9^{2} -2\times 9\times 12,9\cos \left(\widehat{R}\right)
29,16=81+166,41−232,2cos⁡(R^)29,16 =81 +166,41 -232,2\cos \left(\widehat{R}\right)
29,16=247,41−232,2cos⁡(R^)29,16 =247,41 -232,2\cos \left(\widehat{R}\right)
29,16−247,41=−232,2cos⁡(R^)29,16 -247,41 =-232,2\cos \left(\widehat{R}\right)
−218,25=−232,2cos⁡(R^)-218,25 =-232,2\cos \left(\widehat{R}\right)
−232,2cos⁡(R^)=−218,25-232,2\cos \left(\widehat{R}\right)=-218,25
cos⁡(R^)=−218,25−232,2\cos \left(\widehat{R}\right)=\frac{-218,25}{-232,2}
Ainsi : R^=cos⁡−1(−218,25−232,2)\widehat{R}=\cos^{-1}\left(\frac{-218,25}{-232,2}\right) ou encore R^=arcos(−218,25−232,2)\widehat{R}=\text{arcos}\left(\frac{-218,25}{-232,2}\right)
  • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
Ainsi :
R^≈19,96∘\widehat{R}\approx19,96{}^\circ

La mesure de l'angle R^\widehat{R} est de 20∘20{}^\circ (arrondi au dixième près).