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Calculer un angle avec la formule d'AL-KASHI - Exercice 3

4 min
10
Question 1

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer une mesure de l'angle KIJ^\widehat{KIJ} à 0,1∘0,1{}^\circ près .

Correction
D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
KJ2=IK2+IJ2−2×IK×IJcos⁡(I^)KJ^{2} =IK^{2} +IJ^{2} -2\times IK\times IJ\cos \left(\widehat{I}\right)
1122=442+902−2×44×90cos⁡(I^)112^{2} =44^{2} +90^{2} -2\times 44\times 90\cos \left(\widehat{I}\right)
12544=1936+8100−7920cos⁡(I^)12544 =1936 +8100 -7920\cos \left(\widehat{I}\right)
12544=10036−7920cos⁡(I^)12544 =10036 -7920\cos \left(\widehat{I}\right)
12544−10036=−7920cos⁡(I^)12544 -10036 =-7920\cos \left(\widehat{I}\right)
2508=−7920cos⁡(I^)2508 =-7920\cos \left(\widehat{I}\right)
−7920cos⁡(I^)=2508-7920\cos \left(\widehat{I}\right)=2508
cos⁡(I^)=2508−7920\cos \left(\widehat{I}\right)=\frac{2508}{-7920}
Ainsi : I^=cos⁡−1(2508−7920)\widehat{I}=\cos^{-1}\left(\frac{2508}{-7920}\right) ou encore I^=arcos(2508−7920)\widehat{I}=\text{arcos}\left(\frac{2508}{-7920}\right)
  • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
Ainsi :
I^≈108,46∘\widehat{I}\approx108,46{}^\circ

La mesure de l'angle I^\widehat{I} est de 108,5∘108,5{}^\circ (arrondi au dixième près).