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Produit scalaire

Calculer un angle avec la formule d'AL-KASHI - Exercice 2

4 min
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Question 1

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer une mesure de l'angle EDB^\widehat{EDB} à 0,1∘0,1{}^\circ près .

Correction
D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
EB2=ED2+DB2−2×ED×DBcos⁡(D^)EB^{2} =ED^{2} +DB^{2} -2\times ED\times DB\cos \left(\widehat{D}\right)
3,82=5,12+7,42−2×5,1×7,4cos⁡(D^)3,8^{2} =5,1^{2} +7,4^{2} -2\times 5,1\times 7,4\cos \left(\widehat{D}\right)
14,44=26,01+54,76−75,48cos⁡(D^)14,44 =26,01 +54,76 -75,48\cos \left(\widehat{D}\right)
14,44=80,77−75,48cos⁡(D^)14,44 =80,77 -75,48\cos \left(\widehat{D}\right)
14,44−80,77=−75,48cos⁡(D^)14,44 -80,77 =-75,48\cos \left(\widehat{D}\right)
−66,33=−75,48cos⁡(D^)-66,33 =-75,48\cos \left(\widehat{D}\right)
−75,48cos⁡(D^)=−66,33-75,48\cos \left(\widehat{D}\right)=-66,33
cos⁡(D^)=−66,33−75,48\cos \left(\widehat{D}\right)=\frac{-66,33}{-75,48}
Ainsi : D^=cos⁡−1(−66,33−75,48)\widehat{D}=\cos^{-1}\left(\frac{-66,33}{-75,48}\right) ou encore D^=arcos(−66,33−75,48)\widehat{D}=\text{arcos}\left(\frac{-66,33}{-75,48}\right)
  • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
Ainsi :
D^≈28,505∘\widehat{D}\approx28,505{}^\circ

La mesure de l'angle D^\widehat{D} est de 28,5∘28,5{}^\circ (arrondi au dixième près).