Produit scalaire

Calculer un angle avec la formule d'AL-KASHI - Exercice 1

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Question 1

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer une mesure de l'angle BAC^\widehat{BAC} à 0,1∘0,1{}^\circ près .

Correction

Dans un triangle quelconque ABCABC en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :
  • a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right) ; b2=a2+c2−2accos⁡(B^)b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right) ; c2=a2+b2−2abcos⁡(C^)c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right)
D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
BC2=AB2+AC2−2×AB×ACcos⁡(A^)BC^{2} =AB^{2} +AC^{2} -2\times AB\times AC\cos \left(\widehat{A}\right)
5,82=4,52+7,32−2×4,5×7,3cos⁡(A^)5,8^{2} =4,5^{2} +7,3^{2} -2\times 4,5\times 7,3\cos \left(\widehat{A}\right)
33,64=20,25+53,29−65,7cos⁡(A^)33,64 =20,25 +53,29 -65,7\cos \left(\widehat{A}\right)
33,64=73,54−65,7cos⁡(A^)33,64 =73,54 -65,7\cos \left(\widehat{A}\right)
33,64−73,54=−65,7cos⁡(A^)33,64 -73,54 =-65,7\cos \left(\widehat{A}\right)
−39,9=−65,7cos⁡(A^)-39,9 =-65,7\cos \left(\widehat{A}\right)
−65,7cos⁡(A^)=−39,9-65,7\cos \left(\widehat{A}\right)=-39,9
cos⁡(A^)=−39,9−65,7\cos \left(\widehat{A}\right)=\frac{-39,9}{-65,7}
Ainsi : A^=cos⁡−1(−39,9−65,7)\widehat{A}=\cos^{-1}\left(\frac{-39,9}{-65,7}\right) ou encore A^=arcos(−39,9−65,7)\widehat{A}=\text{arcos}\left(\frac{-39,9}{-65,7}\right)
  • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
Ainsi :
A^≈52,60∘\widehat{A}\approx52,60{}^\circ

La mesure de l'angle A^\widehat{A} est de 52,6∘52,6{}^\circ (arrondi au dixième près).