Calculer un angle avec la formule d'AL-KASHI

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
$BC^{2} =AB^{2} +AC^{2} -2\times AB\times AC\cos \left(\widehat{A}\right)$
$5,8^{2} =4,5^{2} +7,3^{2} -2\times 4,5\times 7,3\cos \left(\widehat{A}\right)$
$33,64 =20,25 +53,29 -65,7\cos \left(\widehat{A}\right)$
$33,64 =73,54 -65,7\cos \left(\widehat{A}\right)$
$33,64 -73,54 =-65,7\cos \left(\widehat{A}\right)$
$-39,9 =-65,7\cos \left(\widehat{A}\right)$
$-65,7\cos \left(\widehat{A}\right)=-39,9$
$\cos \left(\widehat{A}\right)=\frac{-39,9}{-65,7}$
Ainsi : $\widehat{A}=\cos^{-1}\left(\frac{-39,9}{-65,7}\right)$ ou encore $\widehat{A}=\text{arcos}\left(\frac{-39,9}{-65,7}\right)$
Ainsi :
La mesure de l'angle $\widehat{A}$ est de $52,6{}^\circ$ (arrondi au dixième près).

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
$EB^{2} =ED^{2} +DB^{2} -2\times ED\times DB\cos \left(\widehat{D}\right)$
$3,8^{2} =5,1^{2} +7,4^{2} -2\times 5,1\times 7,4\cos \left(\widehat{D}\right)$
$14,44 =26,01 +54,76 -75,48\cos \left(\widehat{D}\right)$
$14,44 =80,77 -75,48\cos \left(\widehat{D}\right)$
$14,44 -80,77 =-75,48\cos \left(\widehat{D}\right)$
$-66,33 =-75,48\cos \left(\widehat{D}\right)$
$-75,48\cos \left(\widehat{D}\right)=-66,33$
$\cos \left(\widehat{D}\right)=\frac{-66,33}{-75,48}$
Ainsi : $\widehat{D}=\cos^{-1}\left(\frac{-66,33}{-75,48}\right)$ ou encore $\widehat{D}=\text{arcos}\left(\frac{-66,33}{-75,48}\right)$
Ainsi :
La mesure de l'angle $\widehat{D}$ est de $28,5{}^\circ$ (arrondi au dixième près).

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
$KJ^{2} =IK^{2} +IJ^{2} -2\times IK\times IJ\cos \left(\widehat{I}\right)$
$112^{2} =44^{2} +90^{2} -2\times 44\times 90\cos \left(\widehat{I}\right)$
$12544 =1936 +8100 -7920\cos \left(\widehat{I}\right)$
$12544 =10036 -7920\cos \left(\widehat{I}\right)$
$12544 -10036 =-7920\cos \left(\widehat{I}\right)$
$2508 =-7920\cos \left(\widehat{I}\right)$
$-7920\cos \left(\widehat{I}\right)=2508$
$\cos \left(\widehat{I}\right)=\frac{2508}{-7920}$
Ainsi : $\widehat{I}=\cos^{-1}\left(\frac{2508}{-7920}\right)$ ou encore $\widehat{I}=\text{arcos}\left(\frac{2508}{-7920}\right)$
Ainsi :
La mesure de l'angle $\widehat{I}$ est de $108,5{}^\circ$ (arrondi au dixième près).

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
$JL^{2} =KJ^{2} +KL^{2} -2\times KJ\times KL\cos \left(\widehat{K}\right)$
$7,6^{2} =15,9^{2} +20,3^{2} -2\times 15,9\times 20,3\cos \left(\widehat{K}\right)$
$57,76 =252,81 +412,09 -645,54\cos \left(\widehat{K}\right)$
$57,76 =664,9 -645,54\cos \left(\widehat{K}\right)$
$57,76 -664,9 =-645,54\cos \left(\widehat{K}\right)$
$-607,14 =-645,54\cos \left(\widehat{K}\right)$
$-645,54\cos \left(\widehat{K}\right)=-607,14$
$\cos \left(\widehat{K}\right)=\frac{-607,14}{-645,54}$
Ainsi : $\widehat{K}=\cos^{-1}\left(\frac{-607,14}{-645,54}\right)$ ou encore $\widehat{K}=\text{arcos}\left(\frac{-607,14}{-645,54}\right)$
Ainsi :
La mesure de l'angle $\widehat{K}$ est de $19,9{}^\circ$ (arrondi au dixième près).

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
$PL^{2} =RL^{2} +RP^{2} -2\times RL\times RP\cos \left(\widehat{R}\right)$
$5,4^{2} =9^{2} +12,9^{2} -2\times 9\times 12,9\cos \left(\widehat{R}\right)$
$29,16 =81 +166,41 -232,2\cos \left(\widehat{R}\right)$
$29,16 =247,41 -232,2\cos \left(\widehat{R}\right)$
$29,16 -247,41 =-232,2\cos \left(\widehat{R}\right)$
$-218,25 =-232,2\cos \left(\widehat{R}\right)$
$-232,2\cos \left(\widehat{R}\right)=-218,25$
$\cos \left(\widehat{R}\right)=\frac{-218,25}{-232,2}$
Ainsi : $\widehat{R}=\cos^{-1}\left(\frac{-218,25}{-232,2}\right)$ ou encore $\widehat{R}=\text{arcos}\left(\frac{-218,25}{-232,2}\right)$
Ainsi :
La mesure de l'angle $\widehat{R}$ est de $20{}^\circ$ (arrondi au dixième près).

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
$RS^{2} =TR^{2} +TS^{2} -2\times TR\times TS\cos \left(\widehat{T}\right)$
$275^{2} =125^{2} +205^{2} -2\times 125\times 205\cos \left(\widehat{T}\right)$
$75625 =15625 +42025 -51250\cos \left(\widehat{T}\right)$
$75625 =57650 -51250\cos \left(\widehat{T}\right)$
$75625 - 57650=-51250\cos \left(\widehat{T}\right)$
$17975 =-51250\cos \left(\widehat{T}\right)$
$-51250\cos \left(\widehat{T}\right)=17975$
$\cos \left(\widehat{T}\right)=\frac{17975}{-51250}$
Ainsi : $\widehat{T}=\cos^{-1}\left(\frac{17975}{-51250}\right)$ ou encore $\widehat{T}=\text{arcos}\left(\frac{17975}{-51250}\right)$
Ainsi :
La mesure de l'angle $\widehat{T}$ est de $110,5{}^\circ$ (arrondi au dixième près).