Probabilités

Loi binomiale - Exercice 4

1 min
0
Question 1
L'Empire State Building à New York compte 7373 ascenseurs. La probabilité qu'un ascenseur tombe en panne, un jour quelconque, est de 0,0050,005.
On considère que les pannes sont indépendantes les unes des autres. On appelle XX la variable aléatoire égale au nombre d'ascenseurs en panne un jour donné.

Quelle est la loi suivi par XX.

Correction
On choisit un ascenseur au hasard, on appelle succès l'ascenseur est en panne avec une probabilité p=0,005p = 0,005 et on appelle échec l'ascenseur n'est pas en panne ainsi la probabilité est égale à 1−p=0,9951-p=0,995. On réitère 7373 fois cette expérience de façon identique et indépendante et l’on appelle XX la variable aléatoire égale au nombre d'ascenseurs en panne un jour donné. XX suit alors la loi binomiale B(73;0,005)B\left(73; 0,005\right).
Question 2

Calculer P(X=0)P\left(X=0\right).

Correction
  • Dans un schéma de Bernoulli d’ordre nn et de paramètre pp, la loi de probabilité de la variable aléatoire XX qui à chaque issue associe le nombre de succès est définie par :
    P(X=k)=(nk)×(p)k×(1−p)n−kP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)\times \left(p\right)^{k} \times \left(1-p\right)^{n-k}
    On dit alors que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n, p\right)
Nous voulons donc calculer P(X=0)P\left(X=0\right)
P(X=0)=(730)×(0,005)73×(1−0,005)73−0P\left(X=0\right)=\left(\begin{array}{c} {73} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(0,005\right)^{73} \times \left(1-0,005\right)^{73-0}
Pour le calcul :
Avec une Texas, on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right)
(tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Texas" pour plus de détails)2nd - DISTR -- puis choisir BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp(7373, 0,0050,005 , 00) puis taper sur enter et on obtient :
P(X=0)≈1,25×10−15P\left(X=0\right)\approx 1,25\times10^{-15}
arrondi à 10−310^{-3} près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp
Avec une Casio Graph 35+ ou modèle supérieur, on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right)
(tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Casio" pour plus de détails)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.

On remplit le tableau de la manière qui suit :
D.P. Binomiale
Data Variable
xx : 00 valeur de kk
Numtrial : 7373 valeur de nn
pp : 0,0050,005 valeur de pp

puis taper sur EXE et on obtient :
P(X=0)≈1,25×10−15P\left(X=0\right)\approx 1,25\times10^{-15}
arrondi à 10−310^{-3} près.
Autrement dit nous avons P(X=0)≈0P\left(X=0\right)\approx0
Question 3

Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un ascenseur en panne.

Correction
Il nous faut calculer ici : P(X≥1)P\left(X\ge1\right)
Or :
P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge1\right)=1-P\left(X=0\right)
D'après la question précédente, nous avons alors :
P(X≥1)=1−0P\left(X\ge1\right)=1-0
P(X≥1)=1P\left(X\ge1\right)=1
Question 4

Calculer E(X)E\left(X\right) et en donner une interprétation.

Correction
Nous savons que XX suit alors la loi binomiale B(900;0,01)B\left(900; 0,01\right).
XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n, p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
Ici, il nous faut calculer l'espérance de XX pour avoir le nombre moyen de calculatrices défectueuses.
Ainsi :
E(X)=73×0,005E\left(X\right)=73\times 0,005 donc
E(X)=0,365E\left(X\right)=0,365

Il y a en moyenne moins d'un ascenseur en panne par jour à l'Empire State Building.