Probabilités

Loi binomiale - Exercice 3

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Question 1
Une entreprise KZIOKZIO fabrique des calculatrices. Un contrôle qualité a montré qu'une calculatrice produite par cette entreprise est défectueuse avec une probabilité égale à 0,010,01.
Une grande surface reçoit 900900 calculatrices de cette entreprise.
Soit XX la variable aléatoire , qui, à cette livraison, associe le nombres de calculatrices défectueuses. Le nombre de calculatrices est suffisamment grand pour qu'on puisse assimiler cette épreuve à un tirage avec remise.

Quelle est la loi suivi par XX.

Correction
On choisit une calculatrice au hasard, on appelle succès le tirage d’une calculatrice défectueuse dont la probabilité est p=0,01p = 0,01 et on appelle échec le tirage d'une calculatrice qui fonctionne dont la probabilité est 1−p=0,991-p=0,99. On réitère 900900 fois cette expérience de façon identique et indépendante et l’on appelle XX le nombre de calculatrices défectueuses. XX suit alors la loi binomiale B(900;0,01)B\left(900; 0,01\right).
Question 2

Combien y'a t-il de calculatrices défectueuses, dans ce lot de 900900 calculatrices.

Correction
Nous savons que XX suit alors la loi binomiale B(900;0,01)B\left(900; 0,01\right).
XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n, p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
Ici, il nous faut calculer l'espérance de XX pour avoir le nombre moyen de calculatrices défectueuses.
Ainsi :
E(X)=900×0,01E\left(X\right)=900\times 0,01 donc
E(X)=9E\left(X\right)=9

Nous avons donc 99 calculatrices dans ce lot de 900900 calculatrices.