Intervalle de fluctuation selon la loi binomiale : Sous formes de problèmes - Exercice 4

Dans le monde, il nait $$105$$ garçons pour $$100$$ filles. Donc la probabilité d'avoir un garçon dans le monde est de $$\frac{105}{205}$$.
Lors d'une naissance, on appelle succès l'enfant est un garçon dont la probabilité est $$p = \frac{105}{205}$$ et on appelle échec l'enfant est une fille dont la probabilité est $$1-p = 1-\frac{105}{205}$$. Il s'agit de l'épreuve de Bernoulli. On réitère $$82$$ fois cette expérience de façon identique et indépendante et l’on appelle $$X$$ le nombre de garçons. $$X$$ suit alors la loi binomiale $$B\left(82; \frac{105}{205}\right)$$.

1^ère cas de figure : A l'aide d'une Texas, nous suivons la procédure comme suit :
Touche $$f\left(x\right)$$ ou $$Y=$$ → VAR → Choisir BinomFREP puis écrire BinomFREP($$82$$;$$\frac{105}{205}$$;$$X$$)
Puis faire 2nde → Fenêtre puis remplir DébutTbl : $$0$$ et $$\Delta$$Tbl : $$1$$ et enfin 2nde → Graphe
Apparaitra un tableau de valeur et dans la colonne $$Y1$$, il va falloir chercher la valeur $$a$$ tel que $$P\left(X\le a\right)>0,025$$ et la valeur $$b$$ tel que $$P\left(X\le b\right)\ge 0,975$$
Il en résulte donc que :

• $$P\left(X\le 33\right)\approx0,03 >0,025$$ ce qui nous donne $$a=33$$
• $$P\left(X\le 51\right)\approx0,9825\ge0,975$$ ce qui nous donne $$b=51$$

L'intervalle de fluctuation au seuil de $$95\%$$ est alors $$\left[\frac{33}{82} ;\frac{51}{82} \right]$$.
2^ème cas de figure : A l'aide d'une Casio graph $$35+$$, nous suivons la procédure comme suit :
Menu TABLE → OPTN → $$F6$$ → STAT → DIST → BINM → Bcd
Ensuite il vous faut remplir comme suit à l'écran : BinominalCD($$X$$,$$n$$,$$p$$) ici on va mettre BinominalCD($$X$$,$$82$$,$$\frac{105}{205}$$) puis $$F5$$ . Ensuite renseigné pour START : $$0$$ et END : $$82$$ et Step : $$1$$ puis EXE puis $$F6$$
Apparaitra un tableau de valeur et dans la colonne $$Y1$$, il va falloir chercher la valeur $$a$$ tel que $$P\left(X\le a\right)>0,025$$ et la valeur $$b$$ tel que $$P\left(X\le b\right)\ge 0,975$$
Il en résulte donc que :

• $$P\left(X\le 33\right)\approx0,03 >0,025$$ ce qui nous donne $$a=33$$
• $$P\left(X\le 51\right)\approx0,9825\ge0,975$$ ce qui nous donne $$b=51$$

L'intervalle de fluctuation au seuil de $$95\%$$ est alors $$\left[\frac{33}{82} ;\frac{51}{82} \right]$$.

La fréquence observée de garçons nés dans la ville de cupidon est ici $$f_{obs}=\frac{40}{82}$$.
Or : $$f_{obs}\in\left[\frac{33}{82} ;\frac{51}{82} \right]$$
On peut considérer , au risque de $$5\%$$ d'erreur ou au seuil de $$95\%$$ de confiance, que les naissances à Cupidon en $$2017$$ étaient bien conformes à la situation mondiale?