Intervalle de fluctuation selon la loi binomiale : Sous formes de problèmes - Exercice 3

On choisit une carte au hasard, on appelle succès la carte est NBA dont la probabilité est $$p = 0,21$$ et on appelle échec la carte n'est pas NBA dont la probabilité est $$1-p = 0,89$$. On réitère $$42$$ fois cette expérience de façon identique et indépendante et l’on appelle $$X$$ le nombre de cartes NBA. $$X$$ suit alors la loi binomiale $$B\left(42; 0,21\right)$$.
1^ère cas de figure : A l'aide d'une Texas, nous suivons la procédure comme suit :
Touche $$f\left(x\right)$$ ou $$Y=$$ → VAR → Choisir BinomFREP puis écrire BinomFREP($$42$$,$$0.21$$,$$X$$)
Puis faire 2nde → Fenêtre puis remplir DébutTbl : $$0$$ et $$\Delta$$Tbl : $$1$$ et enfin 2nde → Graphe
Apparaitra un tableau de valeur et dans la colonne $$Y1$$, il va falloir chercher la valeur $$a$$ tel que $$P\left(X\le a\right)>0,025$$ et la valeur $$b$$ tel que $$P\left(X\le b\right)\ge 0,975$$
Il en résulte donc que :

• $$P\left(X\le 4\right)\approx0,0425 >0,025$$ ce qui nous donne $$a=4$$
• $$P\left(X\le 14\right)\approx0,9799\ge0,975$$ ce qui nous donne $$b=14$$

L'intervalle de fluctuation au seuil de $$95\%$$ est alors $$\left[\frac{4}{42} ;\frac{14}{42} \right]$$.
2^ème cas de figure : A l'aide d'une Casio graph $$35+$$, nous suivons la procédure comme suit :
Menu TABLE → OPTN → $$F6$$ → STAT → DIST → BINM → Bcd
Ensuite il vous faut remplir comme suit à l'écran : BinominalCD($$X$$,$$n$$,$$p$$) ici on va mettre BinominalCD($$X$$,$$42$$,$$0.21$$) puis $$F5$$ . Ensuite renseigné pour START : $$0$$ et END : $$42$$ et Step : $$1$$ puis EXE puis $$F6$$
Apparaitra un tableau de valeur et dans la colonne $$Y1$$, il va falloir chercher la valeur $$a$$ tel que $$P\left(X\le a\right)>0,025$$ et la valeur $$b$$ tel que $$P\left(X\le b\right)\ge 0,975$$
Il en résulte donc que :

• $$P\left(X\le 4\right)\approx0,0425 >0,025$$ ce qui nous donne $$a=4$$
• $$P\left(X\le 14\right)\approx0,9799\ge0,975$$ ce qui nous donne $$b=14$$

L'intervalle de fluctuation au seuil de $$95\%$$ est alors $$\left[\frac{4}{42} ;\frac{14}{42} \right]$$.
Adil prélève $$42$$ cartes au hasard et Adil constate que $$7$$ sont des cartes NBA.
La fréquence observée ici est $$f_{obs}=\frac{7}{42}$$.
Or : $$f_{obs}\in\left[\frac{4}{42} ;\frac{14}{42} \right]$$
On peut considérer , au risque de $$5\%$$ d'erreur ou au seuil de $$95\%$$ de confiance, que la proportion de $$21\%$$ de cartes NBA est plausible au vu de cet échantillon. Adil n'a pas lieu de s'inquiéter.