Intervalle de fluctuation selon la loi binomiale : Sous formes de problèmes - Exercice 2

On interroge une personne au hasard, on appelle succès la personne se rend au travail à vélo dont la probabilité est $$p = 0,42$$ et on appelle échec la personne ne se rend pas au travail à vélo dont la probabilité est $$1-p = 0,58$$. On réitère $$10$$ fois cette expérience de façon identique et indépendante et l’on appelle $$X$$ le nombre de personnes se rendant au travail en vélo. $$X$$ suit alors la loi binomiale $$B\left(10; 0,42\right)$$.
1^ère cas de figure : A l'aide d'une Texas, nous suivons la procédure comme suit :
Touche $$f\left(x\right)$$ ou $$Y=$$ → VAR → Choisir BinomFREP puis écrire BinomFREP($$10$$,$$0.42$$,$$X$$)
Puis faire 2nde → Fenêtre puis remplir DébutTbl : $$0$$ et $$\Delta$$Tbl : $$1$$ et enfin 2nde → Graphe
Apparaitra un tableau de valeur et dans la colonne $$Y1$$, il va falloir chercher la valeur $$a$$ tel que $$P\left(X\le a\right)>0,025$$ et la valeur $$b$$ tel que $$P\left(X\le b\right)\ge 0,975$$
Il en résulte donc que :

• $$P\left(X\le 1\right)\approx0,0355 >0,025$$ ce qui nous donne $$a=1$$
• $$P\left(X\le 7\right)\approx0,9828\ge0,975$$ ce qui nous donne $$b=7$$

L'intervalle de fluctuation au seuil de $$95\%$$ est alors $$\left[\frac{1}{10} ;\frac{7}{10} \right]$$.
2^ème cas de figure : A l'aide d'une Casio graph $$35+$$, nous suivons la procédure comme suit :
Menu TABLE → OPTN → $$F6$$ → STAT → DIST → BINM → Bcd
Ensuite il vous faut remplir comme suit à l'écran : BinominalCD($$X$$,$$n$$,$$p$$) ici on va mettre BinominalCD($$X$$,$$10$$,$$0.42$$) puis $$F5$$ . Ensuite renseigné pour START : $$0$$ et END : $$10$$ et Step : $$1$$ puis EXE puis $$F6$$
Apparaitra un tableau de valeur et dans la colonne $$Y1$$, il va falloir chercher la valeur $$a$$ tel que $$P\left(X\le a\right)>0,025$$ et la valeur $$b$$ tel que $$P\left(X\le b\right)\ge 0,975$$
Il en résulte donc que :

• $$P\left(X\le 1\right)\approx0,0355 >0,025$$ ce qui nous donne $$a=1$$
• $$P\left(X\le 7\right)\approx0,9828\ge0,975$$ ce qui nous donne $$b=7$$

L'intervalle de fluctuation au seuil de $$95\%$$ est alors $$\left[\frac{1}{10} ;\frac{7}{10} \right]$$.

On interroge au hasard $$10$$ employés et on remarque que parmi ces personnes interrogés, $$2$$ employés seulement se rendent au travail à vélo.
La fréquence observée ici est $$f_{obs}=\frac{2}{10}$$.
Or : $$f_{obs}\in\left[\frac{1}{10} ;\frac{7}{10} \right]$$
On peut considérer , au risque de $$5\%$$ d'erreur ou au seuil de $$95\%$$ de confiance, que l'affirmation du directeur est vraie.