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Probabilités conditionnelles et indépendance
Vérifier si deux évènements sont indépendants - Exercice 1
6 min
10
C
O
M
P
E
T
E
N
C
E
S
‾
:
1
°
)
C
a
l
c
u
l
e
r
{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;}
COMPETENCES
:
1°
)
C
a
l
c
u
l
er
2
°
)
R
a
i
s
o
n
n
e
r
{\color{red}2°)\;Raisonner}
2°
)
R
ai
so
nn
er
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les évènements
A
A
A
et
B
B
B
sont indépendants.
Question 1
p
(
A
)
=
1
2
p\left(A\right)=\frac{1}{2}
p
(
A
)
=
2
1
,
p
(
B
)
=
1
3
p\left(B\right)=\frac{1}{3}
p
(
B
)
=
3
1
et
p
(
A
∩
B
)
=
1
6
p\left(A\cap B\right)=\frac{1}{6}
p
(
A
∩
B
)
=
6
1
Correction
Deux événements
A
A
A
et
B
B
B
sont indépendants si et seulement si :
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
Nous allons donc calculer
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\right) \times P\left(B\right)
P
(
A
)
×
P
(
B
)
.
Il vient que :
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
1
2
×
1
3
P\left(A\right) \times P\left(B\right)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
2
1
×
3
1
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
1
6
P\left(A\right) \times P\left(B\right)=\frac{1}{6}
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
6
1
Finalement :
\purple{\text{Finalement :}}
Finalement :
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
Les évènements
A
A
A
et
B
B
B
sont bien
ind
e
ˊ
pendants
\text{\red{indépendants}}
ind
e
ˊ
pendants
.
Question 2
p
(
A
)
=
0
,
2
p\left(A\right)=0,2
p
(
A
)
=
0
,
2
et
p
(
B
)
=
0
,
4
p\left(B\right)=0,4
p
(
B
)
=
0
,
4
et
p
(
A
∩
B
)
=
0
,
8
p\left(A\cap B\right)=0,8
p
(
A
∩
B
)
=
0
,
8
Correction
Deux événements
A
A
A
et
B
B
B
sont indépendants si et seulement si :
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
Nous allons donc calculer
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\right) \times P\left(B\right)
P
(
A
)
×
P
(
B
)
.
Il vient que :
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
0
,
2
×
0
,
4
P\left(A\right) \times P\left(B\right)=0,2 \times 0,4
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
0
,
2
×
0
,
4
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
0
,
08
P\left(A\right) \times P\left(B\right)=0,08
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
0
,
08
Finalement :
P
(
A
∩
B
)
≠
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\cap B\right)\ne P\left(A\right) \times P\left(B\right)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
Les évènements
A
A
A
et
B
B
B
ne sont pas ind
e
ˊ
pendants
\text{\red{ne sont pas indépendants}}
ne sont pas ind
e
ˊ
pendants
.
Question 3
p
(
A
)
=
5
7
p\left(A\right)=\frac{5}{7}
p
(
A
)
=
7
5
,
p
(
B
)
=
7
8
p\left(B\right)=\frac{7}{8}
p
(
B
)
=
8
7
et
p
(
A
∩
B
)
=
5
8
p\left(A\cap B\right)=\frac{5}{8}
p
(
A
∩
B
)
=
8
5
Correction
Deux événements
A
A
A
et
B
B
B
sont indépendants si et seulement si :
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
Nous allons donc calculer
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\right) \times P\left(B\right)
P
(
A
)
×
P
(
B
)
.
Il vient que :
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
5
7
×
7
8
P\left(A\right) \times P\left(B\right)=\frac{5}{7} \times \frac{7}{8}
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
7
5
×
8
7
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
5
8
P\left(A\right) \times P\left(B\right)=\frac{5}{8}
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
8
5
Finalement :
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
Les évènements
A
A
A
et
B
B
B
sont bien
ind
e
ˊ
pendants
\text{\red{indépendants}}
ind
e
ˊ
pendants
.