Sujet Polynésie – 4 septembre 2026 - Exercice 1

25 min
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Un joueur participe à un jeu. Il dispose d'une pièce de monnaie équilibrée et de deux urnes A et B qui contiennent chacune des jetons dorés et des jetons argentés.
Il doit commencer par lancer la pièce de monnaie.
  • S'il obtient le côté pile, il pioche un jeton dans l'urne A. Il a alors 60 %60\,\% de chances de tirer un jeton doré.
  • S'il obtient le côté face, il pioche un jeton dans l'urne B. Il a alors 80 %80\,\% de chances de tirer un jeton argenté.
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer la pièce de monnaie puis à tirer un jeton dans une des deux urnes.
On considère les évènements suivants :
  • AA : le joueur pioche dans l'urne A ;
  • BB : le joueur pioche dans l'urne B ;
  • DD : le jeton obtenu est doré ;
  • D‾\overline{D} : le jeton obtenu est argenté.
Question 1

Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

Correction
D'après l'énoncé, on a :
  • la pièce est équilibrée : le joueur pioche dans l'urne A avec la probabilité P(A)=0,5P\left(A\right)=0{,}5 et dans l'urne B avec la probabilité P(B)=0,5P\left(B\right)=0{,}5 ;
  • dans l'urne A, il a 60 %60\,\% de chances de tirer un jeton doré : PA(D)=0,6P_{A}\left(D\right)=0{,}6, donc PA(D‾)=0,4P_{A}\left(\overline{D}\right)=0{,}4 ;
  • dans l'urne B, il a 80 %80\,\% de chances de tirer un jeton argenté : PB(D‾)=0,8P_{B}\left(\overline{D}\right)=0{,}8, donc PB(D)=0,2P_{B}\left(D\right)=0{,}2.
  • La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 11.
L'arbre pondéré traduisant la situation est :
Question 2

Calculer P(A∩D)P\left(A\cap D\right), puis interpréter le résultat obtenu.

Correction
  • La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités portées par ses branches : P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(B\right).
On cherche à calculer la probabilité de l'évènement A∩DA\cap D.
Il en résulte que :
P(A∩D)=P(A)×PA(D)P\left(A\cap D\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(D\right)
P(A∩D)=0,5×0,6P\left(A\cap D\right)=0{,}5\times 0{,}6
D'où :
P(A∩D)=0,3P\left(A\cap D\right)=0{,}3
Interprétation : la probabilité que le joueur pioche dans l'urne A et obtienne un jeton doré est égale à 0,30{,}3.
Question 3

Montrer que P(D)=0,4P(D)=0{,}4.

Correction
Les évènements AA et BB forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)P\left(D\right)=P\left(A\cap D\right)+P\left(B\cap D\right) équivaut successivement à :
P(D)=P(A∩D)+P(B)×PB(D)P\left(D\right)=P\left(A\cap D\right)+P\left(B\right)\times P_{B}\left(D\right)
P(D)=0,3+0,5×0,2P\left(D\right)=0{,}3+0{,}5\times 0{,}2
P(D)=0,3+0,1P\left(D\right)=0{,}3+0{,}1
Ainsi :
P(D)=0,4P\left(D\right)=0{,}4
Question 4
Le joueur a obtenu un jeton doré.

Quelle est la probabilité qu'il l'ait pioché dans l'urne B ?

Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le jeton obtenu est doré, quelle est la probabilité qu'il ait été pioché dans l'urne B ?
On cherche donc PD(B)P_{D}\left(B\right).
  • Pour deux évènements AA et BB avec P(B)≠0P\left(B\right)\neq 0 : PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}.
PD(B)=P(B∩D)P(D)P_{D}\left(B\right)=\dfrac{P\left(B\cap D\right)}{P\left(D\right)}
PD(B)=0,5×0,20,4=0,10,4P_{D}\left(B\right)=\dfrac{0{,}5\times 0{,}2}{0{,}4}=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}
Ainsi :
PD(B)=0,25P_{D}\left(B\right)=0{,}25

Sachant que le jeton est doré, il y a une chance sur quatre qu'il vienne de l'urne B.

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