Sujet Polynésie – 12 juin 2026 (exercice 1, partie A) - Exercice 1

20 min

Un club de vacances propose deux types d'activités à ses clients : des randonnées le matin et des activités nautiques l'après-midi.
On sait que

un quart des clients participent aux randonnées ;
parmi les clients ayant choisi de faire une randonnée le matin, la moitié s'inscrit aussi aux activités nautiques de l'après-midi ;
parmi les clients n'ayant pas choisi de faire une randonnée le matin, un tiers s'inscrit aux activités nautiques de l'après-midi.

On choisit un client du club de vacances au hasard et on note :

Question 1

Recopier et compléter l'arbre de probabilité représentant la situation.

Correction

Puisque le client est choisi au hasard, on assimile les proportions données à des probabilités. D'après l'énoncé, on a :

un quart des clients participent aux randonnées : $P\left(R\right)=\dfrac{1}{4}$ , donc $P\left(\overline{R}\right)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$ ;
parmi les randonneurs, la moitié fait aussi les activités nautiques : $P_{R}\left(N\right)=\dfrac{1}{2}$ , donc $P_{R}\left(\overline{N}\right)=\dfrac{1}{2}$ ;
parmi les autres clients, un tiers fait les activités nautiques : $P_{\overline{R}}\left(N\right)=\dfrac{1}{3}$ , donc $P_{\overline{R}}\left(\overline{N}\right)=\dfrac{2}{3}$ .

On obtient :

Question 2

Correction

Les évènements

R

\overline{R}

forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :

P\left(N\right)=P\left(R\cap N\right)+P\left(\overline{R}\cap N\right)

équivaut successivement à :

P\left(N\right)=P\left(R\right)\times P_{R}\left(N\right)+P\left(\overline{R}\right)\times P_{\overline{R}}\left(N\right)

P\left(N\right)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{3}

P\left(N\right)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}

Ainsi :

P\left(N\right)=\dfrac{3}{8}

Question 3

Correction

On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante :

{\color{blue}{\text{sachant}}}

que le client a participé aux activités nautiques de l'après-midi, quelle est la probabilité qu'il ait fait la randonnée du matin ?
On cherche donc

P_{N}\left(R\right)

Pour deux évènements $A$ et $B$ avec $P\left(B\right)\neq 0$ : $P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$ .

P_{N}\left(R\right)=\dfrac{P\left(R\cap N\right)}{P\left(N\right)}

P_{N}\left(R\right)=\dfrac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{3}{8}}=\dfrac{1}{8}\times\dfrac{8}{3}

Ainsi :

P_{N}\left(R\right)=\dfrac{1}{3}

Question 4

Correction

Deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si : $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)$ .

Nous allons donc calculer

P\left(R\right)\times P\left(N\right)

.
Il vient que :

P\left(R\right)\times P\left(N\right)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{8}

P\left(R\right)\times P\left(N\right)=\dfrac{3}{32}

Or, d'après l'arbre,

P\left(R\cap N\right)=P\left(R\right)\times P_{R}\left(N\right)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{32}

\purple{\text{Finalement :}}

P\left(R\cap N\right)\neq P\left(R\right)\times P\left(N\right)

Les évènements

R

N

ne sont donc pas

\red{\text{indépendants}}

Autre méthode :

P_{N}\left(R\right)=\dfrac{1}{3}

alors que

P\left(R\right)=\dfrac{1}{4}

: savoir que le client fait les activités nautiques change la probabilité qu'il ait fait la randonnée.

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