Sujet Métropole – 12 juin 2026 - Exercice 1

Puisque le client est choisi au hasard, on assimile les proportions données à des probabilités. D'après l'énoncé, on a :

• $$60\,\%$$ des clients ont loué une bicyclette traditionnelle : $$P\left(T\right)=0{,}6$$, donc $$P\left(\overline{T}\right)=1-0{,}6=0{,}4$$ ;
• parmi ces clients, $$25\,\%$$ ont pris une assurance : $$P_{T}\left(A\right)=0{,}25$$, donc $$P_{T}\left(\overline{A}\right)=1-0{,}25=0{,}75$$.

Les probabilités des branches issues de $$\overline{T}$$ ne sont pas données directement par l'énoncé : on les calculera plus loin.On obtient :

D'après l'énoncé, $$20\,\%$$ de l'ensemble des clients ont pris une assurance. Il s'agit d'une proportion de tous les clients (et non d'un sous-groupe).
D'où :

On cherche à calculer la probabilité de l'évènement $$T\cap A$$.
Il en résulte que :
$$P\left(T\cap A\right)=P\left(T\right)\times P_{T}\left(A\right)$$
$$P\left(T\cap A\right)=0{,}6\times 0{,}25$$
D'où :

Les évènements $$T$$ et $$\overline{T}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
$$P\left(A\right)=P\left(T\cap A\right)+P\left(\overline{T}\cap A\right)$$ équivaut successivement à :
$$P\left(\overline{T}\cap A\right)=P\left(A\right)-P\left(T\cap A\right)$$
$$P\left(\overline{T}\cap A\right)=0{,}2-0{,}15$$
Ainsi :

On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante : $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ que le client a loué une bicyclette électrique (c'est-à-dire qu'il n'a pas loué de bicyclette traditionnelle), quelle est la probabilité qu'il ait pris une assurance ?
On cherche donc $$P_{\overline{T}}\left(A\right)$$.
$$P_{\overline{T}}\left(A\right)=\dfrac{P\left(\overline{T}\cap A\right)}{P\left(\overline{T}\right)}$$
$$P_{\overline{T}}\left(A\right)=\dfrac{0{,}05}{0{,}4}=\dfrac{5}{40}$$
Ainsi :
On peut maintenant compléter tout l'arbre :