Sujet Métropole – 11 septembre 2026 - Exercice 1

30 min
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Un médecin reçoit de nombreux patients. On dispose des informations suivantes :
  • 70 %70\,\% des patients sont des enfants, les autres sont des adultes ;
  • lorsque le patient est un enfant, le médecin prescrit des médicaments dans 20 %20\,\% des cas ;
  • lorsque le patient est un adulte, le médecin prescrit des médicaments dans 40 %40\,\% des cas.
On choisit au hasard un patient reçu par ce médecin.
On considère les évènements suivants :
  • EE : « le patient est un enfant » ;
  • MM : « le médecin prescrit des médicaments ».
Question 1

Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

Correction
Puisque le patient est choisi au hasard, on assimile les proportions données à des probabilités. D'après l'énoncé, on a :
  • 70 %70\,\% des patients sont des enfants : P(E)=0,7P\left(E\right)=0{,}7, donc P(E‾)=0,3P\left(\overline{E}\right)=0{,}3 ;
  • pour un enfant, des médicaments sont prescrits dans 20 %20\,\% des cas : PE(M)=0,2P_{E}\left(M\right)=0{,}2, donc PE(M‾)=0,8P_{E}\left(\overline{M}\right)=0{,}8 ;
  • pour un adulte, dans 40 %40\,\% des cas : PE‾(M)=0,4P_{\overline{E}}\left(M\right)=0{,}4, donc PE‾(M‾)=0,6P_{\overline{E}}\left(\overline{M}\right)=0{,}6.
  • La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 11.
On obtient :
Question 2

Calculer la probabilité P(E‾∩M)P\left(\overline{E}\cap M\right) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Correction
  • La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités portées par ses branches : P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(B\right).
On cherche à calculer la probabilité de l'évènement E‾∩M\overline{E}\cap M.
Il en résulte que :
P(E‾∩M)=P(E‾)×PE‾(M)P\left(\overline{E}\cap M\right)=P\left(\overline{E}\right)\times P_{\overline{E}}\left(M\right)
P(E‾∩M)=0,3×0,4P\left(\overline{E}\cap M\right)=0{,}3\times 0{,}4
D'où :
P(E‾∩M)=0,12P\left(\overline{E}\cap M\right)=0{,}12
Interprétation : 12 %12\,\% des patients reçus par ce médecin sont des adultes à qui il prescrit des médicaments.
Question 3

Montrer que la probabilité que le médecin prescrive des médicaments au patient est égale à 0,260{,}26.

Correction
Les évènements EE et E‾\overline{E} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
P(M)=P(E∩M)+P(E‾∩M)P\left(M\right)=P\left(E\cap M\right)+P\left(\overline{E}\cap M\right) équivaut successivement à :
P(M)=P(E)×PE(M)+P(E‾∩M)P\left(M\right)=P\left(E\right)\times P_{E}\left(M\right)+P\left(\overline{E}\cap M\right)
P(M)=0,7×0,2+0,12P\left(M\right)=0{,}7\times 0{,}2+0{,}12
P(M)=0,14+0,12P\left(M\right)=0{,}14+0{,}12
Ainsi :
P(M)=0,26P\left(M\right)=0{,}26
Question 4

Les évènements EE et MM sont-ils indépendants ? Justifier.

Correction
  • Deux évènements AA et BB sont indépendants si et seulement si : P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right).
Nous allons donc calculer P(E)×P(M)P\left(E\right)\times P\left(M\right).
Il vient que :
P(E)×P(M)=0,7×0,26P\left(E\right)\times P\left(M\right)=0{,}7\times 0{,}26
P(E)×P(M)=0,182P\left(E\right)\times P\left(M\right)=0{,}182
Or, d'après l'arbre, P(E∩M)=P(E)×PE(M)=0,7×0,2=0,14P\left(E\cap M\right)=P\left(E\right)\times P_{E}\left(M\right)=0{,}7\times 0{,}2=0{,}14.
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
P(E∩M)≠P(E)×P(M)P\left(E\cap M\right)\neq P\left(E\right)\times P\left(M\right)
Les évènements EE et MM ne sont donc pas indeˊpendants\red{\text{indépendants}}.
Autre méthode : PE(M)=0,2P_{E}\left(M\right)=0{,}2 alors que P(M)=0,26P\left(M\right)=0{,}26.
Question 5
On sait que le médecin a prescrit des médicaments au patient.

Quelle est la probabilité que le patient soit un enfant ? On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le médecin a prescrit des médicaments au patient, quelle est la probabilité que le patient soit un enfant ?
On cherche donc PM(E)P_{M}\left(E\right).
  • Pour deux évènements AA et BB avec P(B)≠0P\left(B\right)\neq 0 : PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}.
PM(E)=P(E∩M)P(M)P_{M}\left(E\right)=\dfrac{P\left(E\cap M\right)}{P\left(M\right)}
PM(E)=0,140,26=1426=7×213×2P_{M}\left(E\right)=\dfrac{0{,}14}{0{,}26}=\dfrac{14}{26}=\dfrac{7\times 2}{13\times 2}
Ainsi :
PM(E)=713P_{M}\left(E\right)=\dfrac{7}{13}

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