Sujet Antilles-Guyane – 11 septembre 2026 - Exercice 1

30 min
45
Une société de transport possède deux types de véhicules : des fourgons et des camions. Certains véhicules sont en bon état, les autres sont en mauvais état.
On sait que :
  • 60 %60\,\% des véhicules sont des fourgons, et parmi eux, 50 %50\,\% sont en bon état ;
  • 40 %40\,\% des véhicules sont des camions.
On sait par ailleurs que 66 %66\,\% de l'ensemble des véhicules sont en bon état.
Un véhicule est choisi au hasard. On considère les évènements :
  • FF : « le véhicule est un fourgon » ;
  • BB : « le véhicule est en bon état ».
La probabilité de l'évènement BB sachant que l'évènement F‾\overline{F} est réalisé est notée xx, où xx est un réel.
Question 1

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

Correction
Puisque le véhicule est choisi au hasard, on assimile les proportions données à des probabilités. D'après l'énoncé, on a :
  • 60 %60\,\% des véhicules sont des fourgons : P(F)=0,6P\left(F\right)=0{,}6, et 40 %40\,\% sont des camions : P(F‾)=0,4P\left(\overline{F}\right)=0{,}4 ;
  • parmi les fourgons, 50 %50\,\% sont en bon état : PF(B)=0,5P_{F}\left(B\right)=0{,}5, donc PF(B‾)=1−0,5=0,5P_{F}\left(\overline{B}\right)=1-0{,}5=0{,}5 ;
  • PF‾(B)=xP_{\overline{F}}\left(B\right)=x (notation de l'énoncé), donc PF‾(B‾)=1−xP_{\overline{F}}\left(\overline{B}\right)=1-x.
  • La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 11.
On obtient :
Question 2

Montrer que la probabilité que le véhicule choisi soit un fourgon en bon état est égale à 0,30{,}3.

Correction
  • La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités portées par ses branches : P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(B\right).
On cherche à calculer la probabilité de l'évènement F∩BF\cap B.
Il en résulte que :
P(F∩B)=P(F)×PF(B)P\left(F\cap B\right)=P\left(F\right)\times P_{F}\left(B\right)
P(F∩B)=0,6×0,5P\left(F\cap B\right)=0{,}6\times 0{,}5
D'où :
P(F∩B)=0,3P\left(F\cap B\right)=0{,}3
Question 3

On sait que le véhicule choisi est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un fourgon. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le véhicule choisi est en bon état, quelle est la probabilité que ce soit un fourgon ?
On cherche donc PB(F)P_{B}\left(F\right).
D'après l'énoncé, P(B)=0,66P\left(B\right)=0{,}66.
  • Pour deux évènements AA et BB avec P(B)≠0P\left(B\right)\neq 0 : PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}.
PB(F)=P(F∩B)P(B)P_{B}\left(F\right)=\dfrac{P\left(F\cap B\right)}{P\left(B\right)}
PB(F)=0,30,66=3066=5×611×6P_{B}\left(F\right)=\dfrac{0{,}3}{0{,}66}=\dfrac{30}{66}=\dfrac{5\times 6}{11\times 6}
Ainsi :
PB(F)=511P_{B}\left(F\right)=\dfrac{5}{11}
Question 4

Montrer que le réel xx est solution de l'équation 0,4x+0,3=0,660{,}4x+0{,}3=0{,}66.

Correction
Les évènements FF et F‾\overline{F} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
P(B)=P(F∩B)+P(F‾∩B)P\left(B\right)=P\left(F\cap B\right)+P\left(\overline{F}\cap B\right) équivaut successivement à :
P(B)=P(F∩B)+P(F‾)×PF‾(B)P\left(B\right)=P\left(F\cap B\right)+P\left(\overline{F}\right)\times P_{\overline{F}}\left(B\right)
P(B)=0,3+0,4xP\left(B\right)=0{,}3+0{,}4x
Or P(B)=0,66P\left(B\right)=0{,}66, donc :
0,4x+0,3=0,660{,}4x+0{,}3=0{,}66
Question 5

Résoudre l'équation et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Correction
0,4x+0,3=0,660{,}4x+0{,}3=0{,}66 équivaut successivement à :
0,4x=0,66−0,30{,}4x=0{,}66-0{,}3
0,4x=0,360{,}4x=0{,}36
x=0,360,4x=\dfrac{0{,}36}{0{,}4}
Ainsi :
x=0,9x=0{,}9
Interprétation : x=PF‾(B)x=P_{\overline{F}}\left(B\right) est la probabilité qu'un camion soit en bon état : 90 %90\,\% des camions de la société sont en bon état.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.