Probabilités conditionnelles et indépendance

Loi de probabilités : variance et écart type - Exercice 1

15 min
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Un jeu consiste à tirer une carte dans un jeu de 3232 cartes.
Un joueur mise 11€ sur l'as de cœur.
  • Si la carte est bien l'as de cœur, le joueur reçoit 66€.
  • Si la carte est un autre as, il reçoit 33€.
  • Si la carte est un cœur, il reçoit un 11€.
  • Dans tous les autres cas, il perd sa mise.

Le gain du joueur est modélisé par la variable aléatoire XX.
Question 1

Quelles sont les valeurs prisent par XX ?

Correction
Le gain du joueur est la somme reçue moins sa mise.
Ainsi, XX prendra les valeurs X={5;2;0;−1}X=\left\{5;2;0;-1\right\}
Question 2

Donner la loi de probabilité de XX

Correction
On va commencer par calculer les probabilités des différents cas :
P(X=5)=132P\left(X=5\right)=\frac{1}{32} (il n'y a qu'un seul as de cœur dans le jeu de 3232 cartes )
P(X=2)=332P\left(X=2\right)=\frac{3}{32} (il y a quatre as dans le jeu de 3232 cartes , mais on ne recompte pas l'as de cœur)
P(X=0)=732P\left(X=0\right)=\frac{7}{32} (il y a huit cœurs dans le jeu de 3232 cartes , mais on ne recompte pas l'as de cœur)
P(X=−1)=2132P\left(X=-1\right)=\frac{21}{32} (ce sont toutes les cartes restantes )
On va traduire ces informations dans un tableau que l'on appellera loi de probabilité :
Question 3

Calculer E(X)E\left(X\right) et σ(X)\sigma \left(X\right)
Le jeu est-il favorable au joueur ?

Correction
    On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
    La formule de l'écart type σ\sigma est obtenue après avoir calculer la variance VV . Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :
  • V(X)=∑pi×(xi−E(X))2V\left(X\right)=\sum p_{i} \times \left(x_{i} -E\left(X\right)\right)^{2}
  • σ(X)=V(X)\sigma\left(X\right) =\sqrt{V\left(X\right)}
On sait que la loi de probabilité de XX est donnée par le tableau ci-dessous :
 Calcul de l’espeˊrance :\red{\text{ Calcul de l'espérance :}}
E(X)=5×132+2×332+…+(−1)×2132E\left(X\right)=5\times \frac{1}{32} +2\times \frac{3}{32} +\ldots +\left(-1\right)\times \frac{21}{32}
Soit
E(X)=−516E\left(X\right)=-\frac{5}{16}

Comme l'espérance est strictement négative, le jeu est défavorable au joueur.

 Calcul de la variance :\red{\text{ Calcul de la variance :}}
V(X)=(5−(−516))2×132+(2−(−516))2×332+…+(−1−(−516))2×2132V\left(X\right)=\left(5-\left(-\frac{5}{16} \right)\right)^{2} \times \frac{1}{32} +\left(2-\left(-\frac{5}{16} \right)\right)^{2} \times \frac{3}{32} +\ldots +\left(-1-\left(-\frac{5}{16} \right)\right)^{2} \times \frac{21}{32}
Ainsi :
V(X)≈2,54V\left(X\right)\approx 2,54

 Calcul de l’eˊcart type :\red{\text{ Calcul de l'écart type :}}
σ(X)=V(X)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} d'où σ(X)=2,54\sigma \left(X\right)=\sqrt{2,54}
Finalement :
σ(X)≈1,59\sigma \left(X\right)\approx1,59