Exercices types : $$4$$^ème partie - Exercice 2

Puisque la pièce est choisie au hasard, on assimile les proportions données à des probabilités. D'après l'énoncé, on a :

• $$P\left(D\right)=0{,}04$$, donc $$P\left(\overline{D}\right)=0{,}96$$ ;
• $$P_{D}\left(L\right)=0{,}9$$, donc $$P_{D}\left(\overline{L}\right)=0{,}1$$ ;
• $$P_{\overline{D}}\left(L\right)=0{,}05$$, donc $$P_{\overline{D}}\left(\overline{L}\right)=0{,}95$$.

L'arbre pondéré décrivant la situation est :

On cherche à calculer la probabilité de l'évènement $$D\cap L$$.
Il en résulte que :
$$P\left(D\cap L\right)=P\left(D\right)\times P_{D}\left(L\right)$$
$$P\left(D\cap L\right)=0{,}04\times 0{,}9$$
D'où :

Les évènements $$D$$ et $$\overline{D}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
$$P\left(L\right)=P\left(D\cap L\right)+P\left(\overline{D}\cap L\right)$$ équivaut successivement à :
$$P\left(L\right)=P\left(D\cap L\right)+P\left(\overline{D}\right)\times P_{\overline{D}}\left(L\right)$$
$$P\left(L\right)=0{,}036+0{,}96\times 0{,}05$$
$$P\left(L\right)=0{,}036+0{,}048$$
Ainsi :

On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante : $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ que l'alarme se déclenche, quelle est la probabilité que la pièce soit défectueuse ?
On cherche donc $$P_{L}\left(D\right)$$.
$$P_{L}\left(D\right)=\dfrac{P\left(D\cap L\right)}{P\left(L\right)}$$
$$P_{L}\left(D\right)=\dfrac{0{,}036}{0{,}084}=\dfrac{36}{84}=\dfrac{3\times 12}{7\times 12}$$
Ainsi :

Le détecteur repère pourtant $$90\,\%$$ des pièces défectueuses, et on aurait pu s'attendre à ce qu'une alarme signale presque toujours une pièce défectueuse.
En fait, moins d'une alarme sur deux correspond à une pièce défectueuse. Les pièces défectueuses sont rares ($$4\,\%$$) alors que les bonnes pièces sont très nombreuses ($$96\,\%$$) : même avec seulement $$5\,\%$$ de fausses alarmes, celles-ci sont plus nombreuses que les vraies ($$0{,}048\gt 0{,}036$$).
Ainsi :

On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante : $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ que l'alarme ne s'est pas déclenchée, quelle est la probabilité que la pièce soit défectueuse ?
On cherche donc $$P_{\overline{L}}\left(D\right)$$.
D'une part : $$P\left(\overline{L}\right)=1-P\left(L\right)=1-0{,}084=0{,}916$$.
D'autre part : $$P\left(D\cap\overline{L}\right)=P\left(D\right)\times P_{D}\left(\overline{L}\right)=0{,}04\times 0{,}1=0{,}004$$.
$$P_{\overline{L}}\left(D\right)=\dfrac{P\left(D\cap\overline{L}\right)}{P\left(\overline{L}\right)}$$
$$P_{\overline{L}}\left(D\right)=\dfrac{0{,}004}{0{,}916}$$
Ainsi :
Quand l'alarme ne se déclenche pas, la pièce est presque sûrement bonne.

Seule la branche allant de $$\overline{D}$$ à $$L$$ change : $$P_{\overline{D}}\left(L\right)=p$$.
Les évènements $$D$$ et $$\overline{D}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
$$P\left(L\right)=P\left(D\right)\times P_{D}\left(L\right)+P\left(\overline{D}\right)\times P_{\overline{D}}\left(L\right)$$
$$P\left(L\right)=0{,}04\times 0{,}9+0{,}96\times p$$
Ainsi :

$$P_{L}\left(D\right)=\dfrac{P\left(D\cap L\right)}{P\left(L\right)}=\dfrac{0{,}036}{0{,}036+0{,}96p}$$. Comme $$0{,}036+0{,}96p\gt 0$$, on peut multiplier les deux membres par ce nombre sans changer le sens de l'inégalité.
$$P_{L}\left(D\right)\geqslant 0{,}6$$ équivaut successivement à :
$$\dfrac{0{,}036}{0{,}036+0{,}96p}\geqslant 0{,}6$$
$$0{,}036\geqslant 0{,}6\left(0{,}036+0{,}96p\right)$$
$$0{,}036\geqslant 0{,}0216+0{,}576p$$
$$0{,}0144\geqslant 0{,}576p$$
$$p\leqslant\dfrac{0{,}0144}{0{,}576}$$
Ainsi :
Il faut que le nouveau détecteur fasse au plus $$2{,}5\,\%$$ de fausses alarmes.