Exercices types : 44ème partie - Exercice 1

30 min
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Une médiathèque compte 600600 adhérents, répartis en trois catégories : enfants, adultes et seniors. On s'intéresse aux adhérents qui ont emprunté au moins une bande dessinée le mois dernier. On dispose du tableau incomplet suivant :
On choisit un adhérent au hasard. On note EE, AA et SS les évènements « l'adhérent est un enfant », « l'adhérent est un adulte », « l'adhérent est un senior », et BB l'évènement « l'adhérent a emprunté une bande dessinée ».
Question 1

Recopier et compléter le tableau.

Correction
  • Dans un tableau à double entrée, le total d'une ligne (ou d'une colonne) est la somme des effectifs de cette ligne (ou de cette colonne).
On complète les cases par des soustractions :
  • enfants n'ayant pas emprunté de BD : 150−90=60150-90=60 ;
  • adultes ayant emprunté une BD : 300−180=120300-180=120 ;
  • nombre de seniors : 600−150−300=150600-150-300=150 ;
  • seniors n'ayant pas emprunté de BD : 150−30=120150-30=120 ;
  • total des adhérents n'ayant pas emprunté de BD : 600−240=360600-240=360.
Vérification : 60+180+120=36060+180+120=360 et 90+120+30=24090+120+30=240.
Le tableau complété est :
Question 2

Calculer P(B)P(B), P(S)P(S) puis P(S∩B)P(S\cap B). Traduire l'évènement S∩BS\cap B par une phrase.

Correction
L'adhérent est choisi au hasard : les 600600 adhérents ont la même probabilité d'être choisis.
P(X)=nombre d’issues favorables aˋ Xnombre d’issues possiblesP\left(X\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre d'issues favorables à }X}}{\red{\text{nombre d'issues possibles}}}
D'après le tableau, nous lisons que :
P(B)=240600=0,4P\left(B\right)=\dfrac{\blue{240}}{\red{600}}=0{,}4 ; P(S)=150600=0,25P\left(S\right)=\dfrac{150}{600}=0{,}25 ; P(S∩B)=30600=0,05P\left(S\cap B\right)=\dfrac{30}{600}=0{,}05.
D'où :
P(B)=0,4P\left(B\right)=0{,}4 ; P(S)=0,25P\left(S\right)=0{,}25 ; P(S∩B)=0,05P\left(S\cap B\right)=0{,}05

S∩BS\cap B est l'évènement : « l'adhérent est un senior et il a emprunté une bande dessinée le mois dernier ».
Question 3

Calculer P(S∪B)P(S\cup B).

Correction
  • Pour deux évènements AA et BB : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right).
Il vient que :
P(S∪B)=P(S)+P(B)−P(S∩B)P\left(S\cup B\right)=P\left(S\right)+P\left(B\right)-P\left(S\cap B\right)
P(S∪B)=0,25+0,4−0,05P\left(S\cup B\right)=0{,}25+0{,}4-0{,}05
Ainsi :
P(S∪B)=0,6P\left(S\cup B\right)=0{,}6

60 %60\,\% des adhérents sont des seniors ou ont emprunté une bande dessinée.
Question 4

Calculer la probabilité que l'adhérent ait emprunté une bande dessinée sachant qu'il est senior.

Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'adhérent est un senior, quelle est la probabilité qu'il ait emprunté une bande dessinée ?
On cherche donc PS(B)P_{S}\left(B\right).
On se limite aux 150150 seniors, parmi lesquels 3030 ont emprunté une BD :
PS(B)=30150P_{S}\left(B\right)=\dfrac{30}{150}
Ainsi :
PS(B)=0,2P_{S}\left(B\right)=0{,}2
Question 5

Calculer PB(S)P_{B}(S) et interpréter ce résultat.

Correction
On cherche cette fois une probabilité conditionnelle sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'adhérent a emprunté une bande dessinée : on se limite aux 240240 adhérents qui ont emprunté une BD, parmi lesquels 3030 sont des seniors :
PB(S)=30240P_{B}\left(S\right)=\dfrac{30}{240}
Ainsi :
PB(S)=0,125P_{B}\left(S\right)=0{,}125
Interprétation : parmi les adhérents qui ont emprunté une bande dessinée, 12,5 %12{,}5\,\% sont des seniors.
Question 6

Les évènements AA et BB sont-ils indépendants ? Justifier.

Correction
  • Deux évènements AA et BB sont indépendants si et seulement si : P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right).
Nous allons donc calculer P(A)×P(B)P\left(A\right)\times P\left(B\right).
Il vient que :
P(A)×P(B)=300600×0,4P\left(A\right)\times P\left(B\right)=\dfrac{300}{600}\times 0{,}4
P(A)×P(B)=0,5×0,4=0,2P\left(A\right)\times P\left(B\right)=0{,}5\times 0{,}4=0{,}2
D'après le tableau, P(A∩B)=120600=0,2P\left(A\cap B\right)=\dfrac{120}{600}=0{,}2.
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)
Les évènements AA et BB sont bien indeˊpendants\red{\text{indépendants}}.

Être adulte ne change pas la probabilité d'avoir emprunté une BD : PA(B)=120300=0,4=P(B)P_{A}\left(B\right)=\dfrac{120}{300}=0{,}4=P\left(B\right).
Question 7

Les évènements EE et BB sont-ils indépendants ? Justifier.

Correction
Nous allons calculer P(E)×P(B)P\left(E\right)\times P\left(B\right).
Il vient que :
P(E)×P(B)=150600×0,4P\left(E\right)\times P\left(B\right)=\dfrac{150}{600}\times 0{,}4
P(E)×P(B)=0,25×0,4=0,1P\left(E\right)\times P\left(B\right)=0{,}25\times 0{,}4=0{,}1
D'après le tableau, P(E∩B)=90600=0,15P\left(E\cap B\right)=\dfrac{90}{600}=0{,}15.
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
P(E∩B)≠P(E)×P(B)P\left(E\cap B\right)\neq P\left(E\right)\times P\left(B\right)
Les évènements EE et BB ne sont donc pas indeˊpendants\red{\text{indépendants}}.

Les enfants empruntent plus souvent des BD que l'ensemble des adhérents : PE(B)=90150=0,6>0,4P_{E}\left(B\right)=\dfrac{90}{150}=0{,}6\gt 0{,}4.
Question 8

On choisit maintenant un adhérent au hasard parmi ceux qui n'ont pas emprunté de bande dessinée. Quelle est la probabilité que ce soit un enfant ?

Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'adhérent n'a pas emprunté de bande dessinée, quelle est la probabilité que ce soit un enfant ?
On cherche donc PB‾(E)P_{\overline{B}}\left(E\right).
On se limite aux 360360 adhérents qui n'ont pas emprunté de BD, parmi lesquels 6060 sont des enfants :
PB‾(E)=60360P_{\overline{B}}\left(E\right)=\dfrac{60}{360}
Ainsi :
PB‾(E)=16P_{\overline{B}}\left(E\right)=\dfrac{1}{6}

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