Probabilités conditionnelles et indépendance

Exercices types : 33ème partie - Exercice 2

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Avant de réaliser une opération marketing en début de saison, un revendeur de piscines fait une étude dans son fichier client.
Il s’intéresse à deux caractéristiques :
  • Le type de piscine déjà installée (piscine traditionnelle, piscine en bois, coque en résine) ;
  • l’existence d’un système de chauffage.
    • Il obtient les résultats suivants :
  • 50%50\% des clients choisissent une piscine traditionnelle, et parmi eux, 80%80\% ont fait installer un système de chauffage ;
  • 40%40\% des clients choisissent une piscine avec coque en résine, dont 60%60\% seront chauffées ;
  • les autres clients ont préféré une piscine en bois.
    • On choisit au hasard la fiche d’un client dans le fichier informatique du revendeur de piscine, chaque fiche ayant la même
    probabilité d’être tirée. On note les évènements suivants :
    TT : « Le client choisit une piscine traditionnelle » ;
    RR : « Le client choisit une piscine avec coque en résine » ;
    BB : « Le client choisit une piscine en bois » ;
    CC : « Le client fait installer un chauffage ».
    Question 1

    Construire un arbre pondéré représentant cette situation.

    Correction
    Question 2

    Montrer que la probabilité que le client choisisse une piscine traditionnelle chauffée est 0,40,4.

    Correction
    La probabilité que le client choisisse une piscine traditionnelle chauffée» correspond à l’événement T∩CT\cap C.
    Il en résulte que :
    P(T∩C)=P(T)×PT(C)P\left(T\cap C\right)=P\left(T\right)\times P_{T} \left(C\right)
    P(T∩C)=0,5×0,8P\left(T\cap C\right)=0,5\times 0,8
    Ainsi :
    P(T∩C)=0,4P\left(T\cap C\right)=0,4
    Question 3
    On sait aussi que 70%70\% des clients ont choisi de faire installer un chauffage pour leur piscine.

    Calculer la probabilité P(B∩C)P\left(B\cap C\right) .

    Correction
    On sait aussi que 70%70\% des clients ont choisi de faire installer un chauffage pour leur piscine, cette information se traduit par P(C)=0,7P\left( C\right)=0,7 .
    Les évènements TT; RR et BB forment une partition de l'univers.
    D'après la formule des probabilités totales, on a :
    P(C)=P(T∩C)+P(R∩C)+P(B∩C)P\left(C\right)=P\left(T \cap C\right)+P\left(R \cap C\right)+P\left(B \cap C\right) équivaut successivement à :
    P(C)=P(T)×PT(C)+P(R)×PR(C)+P(B∩C)P\left(C\right)=P\left(T\right)\times P_{T} \left(C\right)+P\left(R\right)\times P_{R} \left(C\right)+P\left(B \cap C\right)
    0,7=0,5×0,8+0,4×0,6+P(B∩C)0,7=0,5\times 0,8+0,4\times 0,6+P\left(B \cap C\right)
    0,7=0,4+0,24+P(B∩C)0,7= 0,4+0,24+P\left(B \cap C\right)
    0,7=0,64+P(B∩C)0,7= 0,64+P\left(B \cap C\right)
    0,7−0,64=P(B∩C)0,7- 0,64=P\left(B \cap C\right)
    Ainsi :
    P(B∩C)=0,06P\left(B \cap C\right)=0,06
    Question 4

    En déduire PB(C)P_{B} \left(C\right) et compléter l’arbre pondéré précédent.

    Correction
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    Il vient alors que :
    PB(C)=P(C∩B)P(B)P_{B} \left(C\right)=\frac{P\left(C\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    PB(C)=P(B∩C)P(B)P_{B} \left(C\right)=\frac{P\left(B\cap C\right)}{P\left(B\right)}
    PB(C)=0,060,1P_{B} \left(C\right)=\frac{0,06}{0,1} d'où :
    PB(C)=0,6P_{B} \left(C\right)=0,6
    Question 5

    Sachant que la piscine du client dont la fiche a été tirée est chauffée, calculer la probabilité que ce soit une piscine traditionnelle.

    Correction
    Il nous faut calculer : PC(T)P_{C} \left(T\right)
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    Il vient alors que :
    PC(T)=P(T∩C)P(C)P_{C} \left(T\right)=\frac{P\left(T\cap C\right)}{P\left(C\right)}
    PC(T)=P(T)×PT(C)P(C)P_{C} \left(T\right)=\frac{P\left(T\right)\times P_{T} \left(C\right)}{P\left(C\right)}
    PC(T)=0,5×0,80,7P_{C} \left(T\right)=\frac{0,5\times 0,8}{0,7} d'où :
    PC(T)=0,40,7=47P_{C} \left(T\right)=\frac{0,4}{0,7}=\frac{4}{7}