Probabilités conditionnelles et indépendance

Exercices types : 22ème partie - Exercice 3

20 min
35
PARTIE A
L’entreprise produit 4040% de ballons de football de petite taille et 6060% de ballons de taille standard. On admet que 22% des ballons de petite taille et 55% des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l’entreprise. On considère les évènements :
  • AA : « le ballon de football est de petite taille »,
  • BB : « le ballon de football est de taille standard »,
  • CC : « le ballon de football est conforme à la réglementation» et C‾\overline{C}, l’évènement contraire de CC.
    • Question 1

    Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités.

    Correction
    On représente la situation par un arbre pondéré :
    Question 2

    Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation.

    Correction
    « Le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation » correspond à l’événement A∩CA\cap C.
    Il en résulte que :
    P(A∩C)=P(A)×PA(C)P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(C\right)
    P(A∩C)=0,4×0,98P\left(A\cap C\right)=0,4\times 0,98
    P(A∩C)=0,392P\left(A\cap C\right)=0,392

    Question 3

    Montrer que la probabilité de l’évènement CC est égale à 0,9620,962.

    Correction
    Les évènements AA et BB forment une partition de l'univers.
    D'après la formule des probabilités totales, on a :
    P(C)=P(A∩C)+P(B∩C)P\left(C\right)=P\left(A \cap C\right)+P\left(B \cap C\right) équivaut successivement à :
    P(C)=P(A)×PA(C)+P(B)×PB(C)P\left(C\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(C\right)+P\left(B\right)\times P_{B} \left(C\right)
    P(C)=0,392+0,6×0,95P\left(C\right)=0,392 + 0,6\times 0,95
    P(C)=0,962P\left(C\right)=0,962

    Question 4

    Le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille? On arrondira le résultat à 10−310^{-3} près.

    Correction
    On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation, quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille.
    Il s'agit d'une probabilité conditionnelle PC‾(A)P_{\overline{C}} \left(A\right).
    Ainsi :
    PC‾(A)=P(A∩C‾)P(C‾)P_{\overline{C}} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap \overline{C}\right)}{P\left(\overline{C}\right)}
    PC‾(A)=P(A)×PA(C‾)P(C‾)P_{\overline{C}} \left(A\right)=\frac{P\left(A\right)\times P_{A} \left(\overline{C}\right)}{P\left(\overline{C}\right)}
    PC‾(A)=0,4×0,021−0,962P_{\overline{C}} \left(A\right)=\frac{0,4\times0,02}{1-0,962}
    Ainsi :
    PC‾(A)≈0,211P_{\overline{C}} \left(A\right)\approx0,211