Probabilités conditionnelles et indépendance

Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

20 min
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Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif. L’enquête révèle que 7070% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 8080% pratiquent le tri sélectif. Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 1010% qui pratiquent le tri sélectif.
On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
  • SS : L’élève interrogé est sensible au développement durable.
  • TT : L’élève interrogé pratique le tri sélectif.
    • Les résultats seront arrondis à 10−210^{-2}
    Question 1

    Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

    Correction
    D'après l'énoncé on obtient l'arbre suivant :
    Question 2

    Calculer la probabilité que l’élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.

    Correction
    L’évènement «l’élève interrogé est sensible au développement durable et pratique le tri sélectif» se traduit par : S∩TS\cap T.
    Il en résulte que :
    P(S∩T)=P(A)×PS(T)P\left(S\cap T\right)=P\left(A\right)\times P_{S} \left(T\right)
    P(S∩T)=0,7×0,8P\left(S\cap T\right)=0,7\times 0,8
    P(S∩T)=0,56P\left(S\cap T\right)=0,56

    Question 3

    Montrer que la probabilité P(T)P\left(T\right) de l’évènement TT est 0,590,59.

    Correction
    Les évènements SS et S‾\overline{S} forment une partition de l'univers.
    D'après la formule des probabilités totales, on a :
    P(T)=P(S∩T)+P(S‾∩T)P\left(T\right)=P\left(S \cap T\right)+P\left(\overline{S} \cap T\right) équivaut successivement à :
    P(T)=P(S)×PS(T)+P(S‾)×PS‾(T)P\left(T\right)=P\left(S\right)\times P_{S} \left(T\right)+P\left(\overline{S}\right)\times P_{\overline{S}} \left(T\right)
    P(T)=0,7×0,8+0,3×0,1P\left(T\right)=0,7\times 0,8 + 0,3\times 0,1
    P(T)=0,59P\left(T\right)=0,59

    Question 4

    On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif. Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 1010%?

    Correction
    On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'élève ne pratique pas le tri sélectif, quelle est la probabilité qu'il soit sensible au développement durable.
    Il nous faut donc calculer PT‾(S)P_{\overline{T}} \left(S\right).
    PT‾(S)=P(S∩T‾)P(T‾)P_{\overline{T}} \left(S\right)=\frac{P\left(S\cap \overline{T}\right)}{P\left(\overline{T}\right)}
    PT‾(S)=P(S∩T‾)1−P(T)P_{\overline{T}} \left(S\right)=\frac{P\left(S\cap \overline{T}\right)}{1-P\left(T\right)}
    PT‾(S)=0,7×0,21−0,59P_{\overline{T}} \left(S\right)=\frac{0,7\times 0,2}{1-0,59}
    PT‾(S)≈0,34P_{\overline{T}} \left(S\right)\approx0,34

    Les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont de 3434% donc on en pas affirmation est fausse.