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Probabilités conditionnelles et indépendance
Exercices types :
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ème
partie - Exercice 1
25 min
45
Une usine fabrique des étuis en cuir pour téléphone mobile. Chaque étui produit est soumis à deux contrôles :
Un contrôle de qualité de finition : l’étui ne doit pas présenter de défaut définition
Un contrôle de solidité : l'étui est exclu de la vente s'il n'est pas solide.
Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que :
94
94
94
% des étuis sont sans défaut de fabrication; parmi les étuis qui sont dans défaut de définition,
96
96
96
% réussissent le test de solidité.
2
2
2
% des étuis ne satisfont à aucun des deux contrôles.
Question 1
On prend au hasard un étui parmi les étuis produits. On note :
F
F
F
l'évènement : " l'étui est sans défaut de finition "
S
S
S
l'évènement : " l'étui réussit le rest de solidité "
En utilisant l'énoncé, préciser :
P
(
F
)
P\left(F\right)
P
(
F
)
;
P
F
(
S
)
P_{F} \left(S\right)
P
F
(
S
)
et
P
(
F
‾
∩
S
‾
)
P\left(\overline{F}\cap \overline{S}\right)
P
(
F
∩
S
)
Correction
D'après l'énoncé, on a :
P
(
F
)
=
0
,
94
P\left(F\right)=0,94
P
(
F
)
=
0
,
94
P
F
(
S
)
=
0
,
96
P_{F} \left(S\right)=0,96
P
F
(
S
)
=
0
,
96
P
(
F
‾
∩
S
‾
)
=
0
,
02
P\left(\overline{F}\cap \overline{S}\right)=0,02
P
(
F
∩
S
)
=
0
,
02
Question 2
Démontrer que :
P
F
‾
(
S
‾
)
=
1
3
P_{\overline{F}} \left(\overline{S}\right)=\frac{1}{3}
P
F
(
S
)
=
3
1
Correction
Il s'agit d'une probabilité conditionnelle. Il vient alors :
P
F
‾
(
S
‾
)
=
P
(
F
‾
∩
S
‾
)
P
(
F
‾
)
P_{\overline{F}} \left(\overline{S}\right)=\frac{P\left(\overline{F}\cap \overline{S}\right)}{P\left(\overline{F}\right)}
P
F
(
S
)
=
P
(
F
)
P
(
F
∩
S
)
P
F
‾
(
S
‾
)
=
0
,
02
0
,
06
P_{\overline{F}} \left(\overline{S}\right)=\frac{0,02}{0,06}
P
F
(
S
)
=
0
,
06
0
,
02
Ainsi :
P
F
‾
(
S
‾
)
=
1
3
P_{\overline{F}} \left(\overline{S}\right)=\frac{1}{3}
P
F
(
S
)
=
3
1
Question 3
Donner au complet l'arbre pondéré correspondant à cette situation.
Correction
On représente la situation par un arbre pondéré :
Question 4
Démontrer que
P
(
S
)
=
0
,
9424
P\left(S\right)=0,9424
P
(
S
)
=
0
,
9424
Correction
Les évènements
F
F
F
et
F
‾
\overline{F}
F
forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
P
(
S
)
=
P
(
F
∩
S
)
+
P
(
F
‾
∩
S
)
P\left(S\right)=P\left(F \cap S\right)+P\left(\overline{F} \cap S\right)
P
(
S
)
=
P
(
F
∩
S
)
+
P
(
F
∩
S
)
équivaut successivement à :
P
(
S
)
=
P
(
F
)
×
P
F
(
S
)
+
P
(
F
‾
)
×
P
F
‾
(
S
)
P\left(S\right)=P\left(F\right)\times P_{F} \left(S\right)+P\left(\overline{F}\right)\times P_{\overline{F}} \left(S\right)
P
(
S
)
=
P
(
F
)
×
P
F
(
S
)
+
P
(
F
)
×
P
F
(
S
)
P
(
S
)
=
0
,
94
×
0
,
96
+
0
,
06
×
2
3
P\left(S\right)=0,94\times0,96 + 0,06\times \frac{2}{3}
P
(
S
)
=
0
,
94
×
0
,
96
+
0
,
06
×
3
2
P
(
S
)
=
0
,
9424
P\left(S\right)=0,9424
P
(
S
)
=
0
,
9424
Question 5
Un étui a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition. On donnera le résultat arrondi au dix-millième.
Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante ;
sachant
{\color{blue}{\text{sachant}}}
sachant
que l'étui a réussi le test de solidité, quelle est la probabilité qu'il soit sans défaut de finition.
Ainsi :
P
S
(
F
)
=
P
(
F
∩
S
)
P
(
S
)
P_{S} \left(F\right)=\frac{P\left(F\cap S\right)}{P\left(S\right)}
P
S
(
F
)
=
P
(
S
)
P
(
F
∩
S
)
P
S
(
F
)
=
0
,
94
×
0
,
96
0
,
9424
P_{S} \left(F\right)=\frac{0,94\times0,96}{0,9424}
P
S
(
F
)
=
0
,
9424
0
,
94
×
0
,
96
Ainsi :
P
S
(
F
)
≈
0
,
9576
P_{S} \left(F\right)\approx0,9576
P
S
(
F
)
≈
0
,
9576