Probabilités conditionnelles et indépendance

Exercices types : 22ème partie

Exercice 1

Une usine fabrique des étuis en cuir pour téléphone mobile. Chaque étui produit est soumis à deux contrôles :
  • Un contrôle de qualité de finition : l’étui ne doit pas présenter de défaut définition
  • Un contrôle de solidité : l'étui est exclu de la vente s'il n'est pas solide.
  • Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que :
  • 9494% des étuis sont sans défaut de fabrication; parmi les étuis qui sont dans défaut de définition, 9696% réussissent le test de solidité.
  • 22% des étuis ne satisfont à aucun des deux contrôles.
  • On prend au hasard un étui parmi les étuis produits. On note :
  • FF l'évènement : " l'étui est sans défaut de finition "
  • SS l'évènement : " l'étui réussit le rest de solidité "
  • 1

    En utilisant l'énoncé, préciser : P(F)P\left(F\right) ; PF(S)P_{F} \left(S\right) et P(FS)P\left(\overline{F}\cap \overline{S}\right)

    Correction
    2

    Démontrer que : PF(S)=13P_{\overline{F}} \left(\overline{S}\right)=\frac{1}{3}

    Correction
    3

    Donner au complet l'arbre pondéré correspondant à cette situation.

    Correction
    4

    Démontrer que P(S)=0,9424P\left(S\right)=0,9424

    Correction
    5

    Un étui a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition. On donnera le résultat arrondi au dix-millième.

    Correction

    Exercice 2

    Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif. L’enquête révèle que 7070% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 8080% pratiquent le tri sélectif. Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 1010% qui pratiquent le tri sélectif.
    On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
  • SS : L’élève interrogé est sensible au développement durable.
  • TT : L’élève interrogé pratique le tri sélectif.
  • Les résultats seront arrondis à 10210^{-2}
    1

    Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

    Correction
    2

    Calculer la probabilité que l’élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.

    Correction
    3

    Montrer que la probabilité P(T)P\left(T\right) de l’évènement TT est 0,590,59.

    Correction
    4

    On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif. Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 1010%?

    Correction

    Exercice 3

    PARTIE A
    L’entreprise produit 4040% de ballons de football de petite taille et 6060% de ballons de taille standard. On admet que 22% des ballons de petite taille et 55% des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l’entreprise. On considère les évènements :
  • AA : « le ballon de football est de petite taille »,
  • BB : « le ballon de football est de taille standard »,
  • CC : « le ballon de football est conforme à la réglementation» et C\overline{C}, l’évènement contraire de CC.
  • 1

    Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités.

    Correction
    2

    Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation.

    Correction
    3

    Montrer que la probabilité de l’évènement CC est égale à 0,9620,962.

    Correction
    4

    Le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille? On arrondira le résultat à 10310^{-3} près.

    Correction
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