Un contrôle de qualité de finition : l’étui ne doit pas présenter de défaut définition
Un contrôle de solidité : l'étui est exclu de la vente s'il n'est pas solide.
Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que :
94% des étuis sont sans défaut de fabrication; parmi les étuis qui sont dans défaut de définition, 96% réussissent le test de solidité.
2% des étuis ne satisfont à aucun des deux contrôles.
On prend au hasard un étui parmi les étuis produits. On note :
F l'évènement : " l'étui est sans défaut de finition "
S l'évènement : " l'étui réussit le rest de solidité "
1
En utilisant l'énoncé, préciser : P(F) ; PF(S) et P(F∩S)
Correction
D'après l'énoncé, on a :
P(F)=0,94
PF(S)=0,96
P(F∩S)=0,02
2
Démontrer que : PF(S)=31
Correction
Il s'agit d'une probabilité conditionnelle. Il vient alors : PF(S)=P(F)P(F∩S) PF(S)=0,060,02 Ainsi :
PF(S)=31
3
Donner au complet l'arbre pondéré correspondant à cette situation.
Correction
On représente la situation par un arbre pondéré :
4
Démontrer que P(S)=0,9424
Correction
Les évènements F et F forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, on a : P(S)=P(F∩S)+P(F∩S) équivaut successivement à : P(S)=P(F)×PF(S)+P(F)×PF(S) P(S)=0,94×0,96+0,06×32
P(S)=0,9424
5
Un étui a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition. On donnera le résultat arrondi au dix-millième.
Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant que l'étui a réussi le test de solidité, quelle est la probabilité qu'il soit sans défaut de finition. Ainsi : PS(F)=P(S)P(F∩S) PS(F)=0,94240,94×0,96 Ainsi :
PS(F)≈0,9576
Exercice 2
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif. L’enquête révèle que 70% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80% pratiquent le tri sélectif. Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10% qui pratiquent le tri sélectif.
On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
S : L’élève interrogé est sensible au développement durable.
T : L’élève interrogé pratique le tri sélectif.
Les résultats seront arrondis à 10−2
1
Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
Correction
D'après l'énoncé on obtient l'arbre suivant :
2
Calculer la probabilité que l’élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.
Correction
L’évènement «l’élève interrogé est sensible au développement durable et pratique le tri sélectif» se traduit par : S∩T. Il en résulte que : P(S∩T)=P(A)×PS(T) P(S∩T)=0,7×0,8
P(S∩T)=0,56
3
Montrer que la probabilité P(T) de l’évènement T est 0,59.
Correction
Les évènements S et S forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, on a : P(T)=P(S∩T)+P(S∩T) équivaut successivement à : P(T)=P(S)×PS(T)+P(S)×PS(T) P(T)=0,7×0,8+0,3×0,1
P(T)=0,59
4
On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif. Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 10%?
Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant que l'élève ne pratique pas le tri sélectif, quelle est la probabilité qu'il soit sensible au développement durable. Il nous faut donc calculer PT(S). PT(S)=P(T)P(S∩T) PT(S)=1−P(T)P(S∩T) PT(S)=1−0,590,7×0,2
PT(S)≈0,34
Les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont de 34% donc on en pas affirmation est fausse.
Exercice 3
PARTIE A L’entreprise produit 40% de ballons de football de petite taille et 60% de ballons de taille standard. On admet que 2% des ballons de petite taille et 5% des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l’entreprise. On considère les évènements :
A : « le ballon de football est de petite taille »,
B : « le ballon de football est de taille standard »,
C : « le ballon de football est conforme à la réglementation» et C, l’évènement contraire de C.
1
Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités.
Correction
On représente la situation par un arbre pondéré :
2
Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation.
Correction
« Le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation » correspond à l’événement A∩C. Il en résulte que : P(A∩C)=P(A)×PA(C) P(A∩C)=0,4×0,98
P(A∩C)=0,392
3
Montrer que la probabilité de l’évènement C est égale à 0,962.
Correction
Les évènements A et B forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, on a : P(C)=P(A∩C)+P(B∩C) équivaut successivement à : P(C)=P(A)×PA(C)+P(B)×PB(C) P(C)=0,392+0,6×0,95
P(C)=0,962
4
Le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille? On arrondira le résultat à 10−3 près.
Correction
On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant que le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation, quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle PC(A). Ainsi : PC(A)=P(C)P(A∩C) PC(A)=P(C)P(A)×PA(C) PC(A)=1−0,9620,4×0,02 Ainsi :
PC(A)≈0,211
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