Probabilités conditionnelles et indépendance

Exercices types : 11ère partie - Exercice 4

20 min
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COMPETENCES  :  1°)  Modeˊliser  {\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Modéliser\;} 2°)  Calculer{\color{red}2°)\;Calculer} 3°)  Raisonner{\color{red}3°)\;Raisonner}
Un entraineur d'une équipe de basket a étudié les statistiques aux lancers francs de ces joueurs à l'entrainement. Il a remarqué que sur une série de quatre lancers francs, un joueur pris au hasard dans son équipe marque :
  • 44 lancers francs avec une probabilité de 0,20,2
  • 33 lancers francs avec une probabilité de 0,30,3
  • 22 lancers francs avec une probabilité de 0,50,5
Chaque joueur, à l'entrainement, tire 22 séries de 44 lancers francs. On admet que les résultats d'un joueur à chacune des 22 séries sont indépendants.
Soit XX la variable aléatoire égale au nombre de lancers francs réussis par un joueur au cours d'un entrainement.
Question 1

Calculer la probabilité, pour un joueur pris au hasard, de réussir tous ses lancers francs lors d'un entrainement (on pourra s'aider d'un arbre).

Correction
D'après l'énoncé, on en déduit l'arbre pondéré suivant : ( ici LFLF= lancer franc)
Il faut calculer la valeur de P(X=8)P\left(X=8\right) car le joueur doit marquer 44 lancers francs lors de la première série et la même chose lors de la deuxième série.
Il vient alors que :
P(X=8)=0,2×0,2P\left(X=8\right)=0,2\times 0,2
P(X=8)=125P\left(X=8\right)=\frac{1}{25}
Question 2

Préciser les valeurs possibles pour XX et établir sa loi de probabilité.

Correction
XX prend les valeurs suivantes 88, 77, 66, 55 et 44 donc X{8;7;6;5;4}X\in \left\{8;7;6;5;4\right\}
  • P(X=8)=125P\left(X=8\right)=\frac{1}{25}
    (vu à la question précédente)
  • P(X=7)=0,2×0,3+0,3×0,2P\left(X=7\right)=0,2\times 0,3+0,3\times 0,2 , donc :
    P(X=7)=325P\left(X=7\right)=\frac{3}{25}
  • P(X=6)=0,2×0,5+0,3×0,3+0,5×0,2P\left(X=6\right)=0,2\times 0,5+0,3\times 0,3+0,5\times 0,2, donc :
    P(X=6)=29100P\left(X=6\right)=\frac{29}{100}
  • P(X=5)=0,3×0,5+0,5×0,3P\left(X=5\right)=0,3\times 0,5+0,5\times 0,3 , donc :
    P(X=5)=310P\left(X=5\right)=\frac{3}{10}
  • P(X=4)=0,5×0,5P\left(X=4\right)=0,5\times 0,5 , donc :
    P(X=4)=14P\left(X=4\right)=\frac{1}{4}

On peut donc dresser la loi de probabilité de XX :
Question 3

Calculer l'espérance de XX

Correction
    On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=xi×pi=x1×p1+x2×p2++xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
E(X)=4×14+5×310+6×29100+7×325+8×125E\left(X\right)=4\times \frac{1}{4} +5\times \frac{3}{10} +6\times \frac{29}{100} +7\times \frac{3}{25} +8\times \frac{1}{25}
E(X)=5,4E\left(X\right)=5,4

En moyenne, un joueur marquera 5,45,4 lancers francs par séance d'entrainements.
Question 4
L'entraineur considère que le joueur a réussi son entrainement lorsque lors de la série de lancers francs, il en marque plus que 66, autrement dit lorsque X6X\ge 6

Montrer que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d'un entrainement est égale à 920\frac{9}{20}

Correction
P(X6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)P\left(X\ge 6\right)=P\left(X=6\right)+P\left(X=7\right)+P\left(X=8\right).
On a vu à la question 22, les valeurs des probabilités.
Ainsi :
P(X6)=29100+325+125P\left(X\ge 6\right)=\frac{29}{100} +\frac{3}{25} +\frac{1}{25}
P(X6)=920P\left(X\ge 6\right)=\frac{9}{20}
Donc la probabilité pour qu'un joueur réussisse son entrainement est égale à 920\frac{9}{20}