Exercices types : $1$ ^ère partie - Exercice 3

25 min

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Modéliser\;}

{\color{red}2°)\;Calculer}

{\color{red}3°)\;Raisonner}

Partie A
On choisit un client au hasard et on définit les évènements :

30\%

des clients affirment consommer BIO. Parmi ces clients,

40\%

consomment des produits Français.
De plus,

32\%

des clients affirment consommer des produits non Français.

Question 1

Déterminer la probabilité qu'un client consomme des produits BIO étrangers.

Correction

Avec les données du texte, on peut dresser l'arbre pondéré traduisant l'énoncé.
Il vient alors que :

Nous devons calculer :

P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(\overline{B}\right)

P\left(A\cap \overline{B}\right)=0,3\times 0,6

P\left(A\cap \overline{B}\right)=0,18

Question 2

Correction

Nous devons calculer

P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)

.
Or, nous ne pouvons pas directement calculer cette valeur.
Autrement dit

P\left(\overline{B}\right)=0,32

Les évènements

A

\overline{A}

forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :

p\left(\overline{B}\right)=P\left(A\cap \overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)

équivaut successivement à :

0,32=0,18+P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)

P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=0,32-0,18

P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=0,14

Question 3

Correction

On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante :

{\color{blue}{\text{sachant}}}

que le client consomme des produits étrangers, quelle est la probabilité qu'il ne consomme pas de produit BIO.
Nous devons calculons :

P_{\overline{B}} \left(\overline{A}\right)=\frac{P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)}{P\left(\overline{B}\right)}

Ainsi :

P_{\overline{B}} \left(\overline{A}\right)=\frac{0,14}{0,32}

D'où :

P_{\overline{B}} \left(\overline{A}\right)=0,4375

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