Probabilités conditionnelles et indépendance

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

20 min
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COMPETENCES  :  1°)  Modeˊliser  {\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Modéliser\;} 2°)  Calculer{\color{red}2°)\;Calculer} 3°)  Raisonner{\color{red}3°)\;Raisonner}
Dans une classe de terminale S section Européenne les étudiants doivent passer le TOEIC.
  • 75%75\% ont réussi le test.
  • Parmi ceux qui ont réussi, 80%80\% le passaient pour la première fois.
  • Parmi ceux qui ont échoué au test, 5%5\% le passaient pour la première fois.
On considère les évènements TT : « l'élève a réussi le TOEIC », et AA : « l'élève a passé le test plusieurs fois ».
Question 1

Dresser un arbre pondéré décrivant la situation.

Correction
On dresse l'arbre pondéré grâce aux informations données par l'énoncé.
Ainsi :
Question 2

Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé le test pour la première fois et l'ait réussi.

Correction
On calcule alors :
P(TA)=P(T)×PT(A)P\left(T\cap \overline{A}\right)=P\left(T\right)\times P_{T} \left(\overline{A}\right)
P(TA)=0,75×0,8P\left(T\cap \overline{A}\right)=0,75\times 0,8
P(TA)=0,6P\left(T\cap \overline{A}\right)=0,6

La probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé le test pour la première fois et l'ait réussi est de 0,60,6.
Question 3

Déterminer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé plusieurs fois le test.

Correction
Les évènements TT et T\overline{T} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
p(A)=P(TA)+P(TA)p\left(A\right)=P\left(T\cap A\right)+P\left(\overline{T}\cap A\right) équivaut successivement à
p(A)=P(T)×pT(A)+P(T)×pT(A)p\left(A\right)=P\left(T\right)\times p_{T} \left(A\right)+P\left(\overline{T}\right)\times p_{\overline{T}} \left(A\right)
p(A)=0,75×0,2+0,25×0,95p\left(A\right)=0,75\times 0,2+0,25\times 0,95
p(A)=0,15+0,2375p\left(A\right)=0,15+0,2375
p(A)=0,3875p\left(A\right)=0,3875

La probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé plusieurs fois le test est de 0,38750,3875.
Question 4

On choisit au hasard un élève ayant passé plusieurs fois le test.
Quelle est la probabilité qu'il ait réussie ?

Correction
On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'élève a passé plusieurs fois le test, quelle est la probabilité qu'il réussisse.
L'énoncé de la question nous indique qu'il faut calculer pA(T)p_{A} \left(T\right).
D'après les formules du cours on sait que : pA(T)=P(TA)P(A)p_{A} \left(T\right)=\frac{P\left(T\cap A\right)}{P\left(A\right)} .
Il vient alors que : pA(T)=0,75×0,20,3875p_{A} \left(T\right)=\frac{0,75\times 0,2}{0,3875} d'où :
pA(T)=1231p_{A} \left(T\right)=\frac{12}{31}