Probabilités conditionnelles et indépendance

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

20 min
35
COMPETENCES  :  1°)  Modeˊliser  {\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Modéliser\;} 2°)  Calculer{\color{red}2°)\;Calculer} 3°)  Raisonner{\color{red}3°)\;Raisonner}
Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 3535% des plants proviennent de l’horticulteur H1H_{1}, 2525% de l’horticulteur H2H_{2} et le reste de l’horticulteur H3H_{3}. Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l’horticulteur H1H_{1} comporte 8080% de conifères alors que celle de l’horticulteur H2H_{2} n’en comporte que 5050% et celle de l’horticulteur H3H_{3} seulement 3030%.
Question 1
Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les événements suivants :
  • H1H_{1} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H1H_{1}".
  • H2H_{2} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H2H_{2}".
  • H3H_{3} : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H3H_{3}".
  • CC : " l'arbre choisi est un conifère".
  • FF : " l'arbre choisi est un feuillu".

Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

Correction
Puisque le choix de l’arbre se fait au hasard dans le stock de la jardinerie, on assimile les proportions données à des probabilités.
L'arbre pondéré traduisant la situation est :
Question 2

Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3H_{3}.

Correction
On cherche à calculer la probabilité de l’évènement H3CH_{3} \cap C.
Il en résulte que :
P(H3C)=P(H3)×PH3(C)P\left(H_{3} \cap C\right)=P\left(H_{3}\right)\times P_{H_{3}} \left(C\right)
P(H3C)=0,4×0,3P\left(H_{3} \cap C\right)=0,4\times 0,3
D'où :
P(H3C)=0,12P\left(H_{3} \cap C\right)=0,12

Question 3

Justifier que la probabilité de l’évènement CC est égale à 0,5250,525.

Correction
Les évènements H1H_{1}, H2H_{2} et H3H_{3} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
p(C)=P(H1C)+P(H2C)+P(H3C)p\left(C\right)=P\left(H_{1} \cap C\right)+P\left(H_{2} \cap C\right)+P\left(H_{3} \cap C\right) équivaut successivement à :
p(C)=P(H1)×PH1(C)+P(H2)×PH2(C)+P(H3)×PH3(C)p\left(C\right)=P\left(H_{1}\right)\times P_{H_{1}} \left(C\right)+P\left(H_{2}\right)\times P_{H_{2}} \left(C\right)+P\left(H_{3}\right)\times P_{H_{3}} \left(C\right)
p(C)=0,35×0,8+0,25×0,5+0,4×0,3p\left(C\right)=0,35\times 0,8+0,25\times 0,5+0,4\times 0,3
Ainsi :
p(C)=0,525p\left(C\right)=0,525

Question 4

L’arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1H_{1} ? On arrondira à 10310^{-3}.

Correction
On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'arbre choisi est un conifère, quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l’horticulteur H1H_{1}.
PC(H1)=P(H1C)P(C)P_{C} \left(H_{1}\right)=\frac{P\left(H_{1}\cap C\right)}{P\left(C\right)}
PC(H1)=0,35×0,80,525P_{C} \left(H_{1}\right)=\frac{0,35\times 0,8}{0,525}
PC(H1)0,533P_{C} \left(H_{1}\right)\approx0,533