Probabilités conditionnelles et indépendance

Deux premiers exemples de sujets bilan - Exercice 1

20 min
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Un snack propose deux types de plats : des sandwichs et des pizzas.
Le snack propose également plusieurs desserts.
La gérante constate que 80%80\% des clients qui achètent un plat choisissent un sandwich et que parmi ceux-ci seulement 30%30\% prennent également un dessert.
Elle constate aussi que 45%45\% des clients qui ont choisi une pizza comme plat ne prennent pas de dessert.
On choisit au hasard un client ayant acheté un plat dans ce snack.
On considère les évènements suivants :
S S : « Le client interrogé a choisi un sandwich ».
TT : « Le client interrogé a choisi un dessert ».
Question 1

Dresser l'arbre pondéré traduisant la situation .

Correction
D'après l'énonce, nous savons que :
S S : « Le client interrogé a choisi un sandwich ».
TT : « Le client interrogé a choisi un dessert ».
Nous pouvons également traduire que : S‾ \overline{S} : « Le client interrogé a choisi une pizza ».
Question 2

Calculer la probabilité que le client ait choisi un sandwich et un dessert .

Correction
La probabilité que le client ait choisi un sandwich et un dessert se traduit par P(S∩T)P\left(S\cap T\right)
On calcule alors :
P(S∩T)=P(S)×PS(T)P\left(S\cap T\right)=P\left(S\right)\times P_{S} \left(T\right)
P(S∩T)=0,8×0,3P\left(S\cap T\right)=0,8\times 0,3
Ainsi :
P(S∩T)=0,24P\left(S\cap T\right)=0,24

La probabilité que le client ait choisi un sandwich et un dessert est alors de 0,240,24.
Question 3

Déterminer la probabilité de l'évènement TT.

Correction
SS et S‾\overline{S} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P(T)=P(S∩T)+P(S‾∩T)P\left(T\right)=P\left(S\cap T\right)+P\left(\overline{S}\cap T\right)
P(T)=P(S)×PS(T)+P(S‾)×PS‾(T)P\left(T\right)=P\left(S\right)\times P_{S} \left(T\right)+P\left(\overline{S}\right)\times P_{\overline{S}} \left(T\right)
P(T)=0,8×0,3+0,2×0,55P\left(T\right)=0,8\times0,3+0,2\times0,55
P(T)=0,24+0,11P\left(T\right)=0,24+0,11
Ainsi :
P(T)=0,35P\left(T\right)=0,35

Question 4

Sachant que le client a acheté un dessert, quelle est la probabilité, arrondie à 0,010,01 près, qu’il ait acheté une pizza ?

Correction
  • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
On souhaite calculer PT(S‾)P_{T} \left(\overline{S}\right), il vient alors que :
PT(S‾)=P(S‾∩T)P(T)P_{T} \left(\overline{S}\right)=\frac{P\left(\overline{S}\cap T\right)}{P\left(T\right)}
PT(S‾)=P(S‾)×PS‾(T)P(T)P_{T} \left(\overline{S}\right)=\frac{P\left(\overline{S}\right)\times P_{\overline{S}} \left(T\right)}{P\left(T\right)}
PT(S‾)=0,2×0,550,35P_{T} \left(\overline{S}\right)=\frac{0,2\times 0,55}{0,35} d'où :
PT(S‾)=1135≈0,31P_{T} \left(\overline{S}\right)=\frac{11}{35}\approx0,31

Question 5

Les évènements SS et TT sont-ils indépendants ?

Correction
    Deux événements AA et BB sont indépendants si et seulement si :
  • P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
D'après les questions précédentes, nous savons que : P(T)=0,35P\left(T\right)=0,35 ; P(S)=0,8P\left(S\right)=0,8 et P(S∩T)=0,24P\left(S\cap T\right)=0,24
D’une part :\red{\text{D'une part :}} P(S)×P(T)=0,8×0,35P\left(S\right) \times P\left(T\right)=0,8 \times 0,35 d'où P(S)×P(T)=0,28P\left(S\right) \times P\left(T\right)=0,28
D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} P(S∩T)=0,24P\left(S\cap T\right)=0,24
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
P(S∩T)≠P(S)×P(T)P\left(S\cap T\right)\ne P\left(S\right) \times P\left(T\right)
Les évènements SS et TT ne sont pas indeˊpendants\text{\red{ne sont pas indépendants}}.