Probabilités conditionnelles et indépendance

D'autres sujets bilan - Exercice 1

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Une entreprise qui fabrique des aiguilles dispose de deux sites de production, le site AA et le site BB.
Le site AA produit les trois-quarts des aiguilles, le site BB l’autre quart.
Certaines aiguilles peuvent présenter un défaut. Une étude de contrôle de qualité a révélé que :
  • 2%2\% des aiguilles du site AA sont défectueuses;
  • 4%4\% des aiguilles du site BB sont défectueuses.
  • Les aiguilles provenant des deux sites sont mélangées et vendues ensemble par lots.
    On choisit une aiguille au hasard dans un lot et on considère les évènements suivants :
  • AA : l’aiguille provient du site AA;
  • B B : l’aiguille provient du site BB;
  • DD : l’aiguille présente un défaut
  • Question 1

    Dresser l'arbre pondéré traduisant la situation.

    Correction
    Question 2

    Quelle est la probabilité que l’aiguille ait un défaut et provienne du site AA ?

    Correction
    La probabilité que l’aiguille ait un défaut et provienne du site AA se traduit par P(AD)P\left(A\cap D\right)
    On calcule alors :
    P(AD)=P(A)×PA(D)P\left(A\cap D\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(D\right)
    P(AD)=0,75×0,02P\left(A\cap D\right)=0,75\times 0,02
    P(AD)=0,015P\left(A\cap D\right)=0,015

    La probabilité que l’aiguille ait un défaut et provienne du site AA est alors de 0,0150,015.
    Question 3

    Calculer la probabilité que l'aiguille présente un défaut .

    Correction
    AA et A\overline{A} forment une partition de l'univers.
    D'après la formule des probabilités totales on a :
    P(D)=P(AD)+P(AD)P\left(D\right)=P\left(A\cap D\right)+P\left(\overline{A}\cap D\right)
    P(D)=P(A)×PA(D)+P(A)×PA(D)P\left(D\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(D\right)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(D\right)
    Soit : P(D)=0,75×0,02+0,25×0,04P\left(D\right)=0,75\times0,02+0,25\times0,04
    Ainsi :
    P(D)=0,025P\left(D\right)=0,025

    Question 4

    Après inspection, l’aiguille choisie se révèle défectueuse.
    Quelle est la probabilité qu’elle ait été produite sur le site AA ?

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un "sachant" c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'aiguille choisie est défectueuse , quelle est la probabilité que l'aiguille ai été produite sur le site AA ?
    • PB(A)=P(AB)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    Il vient alors que :
    PD(A)=P(AD)P(D)P_{D} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap D\right)}{P\left(D\right)}
    PD(A)=P(A)×PA(D)P(D)P_{D} \left(A\right)=\frac{P\left(A\right)\times P_{A} \left(D\right)}{P\left(D\right)}
    PD(A)=0,75×0,020,025P_{D} \left(A\right)=\frac{0,75\times 0,02}{0,025} d'où :
    PD(A)=0,6P_{D} \left(A\right)=0,6