Probabilités conditionnelles et indépendance

Arbres pondérés et formule des probabilités totales : pour se perfectionner - Exercice 7

20 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer  {\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;} 2°)  Raisonner{\color{red}2°)\;Raisonner}
Question 1
Lors d'une enquête réalisée auprès de familles d'une région, on apprend que 40%40\% des familles ont 11 enfant, 40%40\% ont 22 enfants et enfin 20%20\% ont 33 enfants ou plus.
Toutes les familles interrogées vont en vacances chaque été.
60%60\% des familles avec 11 enfant vont à l’étranger, 80%80\% des familles avec 22 enfants restent en France et enfin 15%15\% des familles avec 33 enfants vont à l’étranger.
On interroge une famille de la région et on note :
  • FF l'événement : "la famille passe leurs vacances en France"
  • EE l'événement : "la famille passe leurs vacances à l'étranger"
  • AA l'événement : "la famille a un enfant "
  • BB l'événement : " la famille a deux enfants "
  • CC l'événement : " la famille a trois enfants "
Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies au millième.

Dresser l'arbre pondéré traduisant cette situation.

Correction
On remplit l'arbre pondéré grâce aux informations données par l'énoncé.
En noirs les valeurs de l'énoncé et en rouge les valeurs que l'on déduit.
Question 2

Calculer la probabilité de l'événement : "la famille a deux enfants et passe ses vacances en France".

Correction
On calcule :
P(B∩F)=P(B)×PB(F)P\left(B\cap F\right)=P\left(B\right)\times P_{B} \left(F\right)
P(B∩F)=0,4×0,8P\left(B\cap F\right)=0,4\times 0,8
Soit :
P(B∩F)=0,32P\left(B\cap F\right)=0,32

Cela signifie que 3232% des familles avec deux enfants passent leurs vacances en France.
Question 3

Montrer que la probabilité de l'événement FF est égale à 0,65

Correction
A,BA,B et CC forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P(F)=P(A∩F)+P(B∩F)+P(C∩F)P\left(F\right)=P\left(A\cap F\right)+P\left(B\cap F\right)+P\left(C\cap F\right) équivaut successivement à
P(F)=P(A)×PA(F)+P(B)×PB(F)+P(C)×PC(F)P\left(F\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(F\right)+P\left(B\right)\times P_{B} \left(F\right)+P\left(C\right)\times P_{C} \left(F\right)
Soit : P(F)=0,4×0,4+0,4×0,8+0,2×0,85P\left(F\right)=0,4\times 0,4+0,4\times 0,8+0,2\times 0,85
Ainsi :
P(F)=0,65P\left(F\right)=0,65
Question 4

On interroge au hasard une famille passant ses vacances en France.
Calculer la probabilité que la famille ait un enfant.

Correction
    On note PB(A)P_{B} \left(A\right) la probabilité d’avoir l’événement AA sachant que l’événement BB est réalisé. On a alors la relation suivante :
  • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant » .
On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que la famille passe ses vacances en France quelle est la probabilité que la famille ait un enfant.
PF(A)=P(A∩F)P(F)P_{F} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap F\right)}{P\left(F\right)}
PF(A)=P(A)×PA(F)P(F)P_{F} \left(A\right)=\frac{P\left(A\right)\times P_{A} \left(F\right)}{P\left(F\right)}
PF(A)=0,4×0,40,65P_{F} \left(A\right)=\frac{0,4\times 0,4}{0,65} d'où
PF(A)=1665≈0,246P_{F} \left(A\right)=\frac{16}{65} \approx 0,246

Sachant que la famille passe ses vacances en France, la probabilité qu’elle ait un enfant est de 24,624,6%.