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Probabilités conditionnelles et indépendance
Arbres pondérés et formule des probabilités totales : pour se perfectionner - Exercice 5
15 min
30
C
O
M
P
E
T
E
N
C
E
S
‾
:
1
°
)
C
a
l
c
u
l
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r
{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;}
COMPETENCES
:
1°
)
C
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u
l
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2
°
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R
a
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s
o
n
n
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r
{\color{red}2°)\;Raisonner}
2°
)
R
ai
so
nn
er
Question 1
Soient
A
A
A
et
B
B
B
, tels que
P
(
A
)
=
0
,
2
P\left(A\right)=0,2
P
(
A
)
=
0
,
2
et
P
(
B
)
=
0
,
5
P\left(B\right)=0,5
P
(
B
)
=
0
,
5
et
P
(
A
∩
B
)
=
1
7
P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{7}
P
(
A
∩
B
)
=
7
1
Calculez
P
B
(
A
)
P_{B} \left(A\right)
P
B
(
A
)
puis
P
A
(
B
)
P_{A} \left(B\right)
P
A
(
B
)
Correction
On note
P
B
(
A
)
P_{B} \left(A\right)
P
B
(
A
)
la probabilité d’avoir l’événement
A
A
A
sachant que l’événement
B
B
B
est réalisé. On a alors la relation suivante :
P
B
(
A
)
=
P
(
A
∩
B
)
P
(
B
)
P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
P
B
(
A
)
=
P
(
B
)
P
(
A
∩
B
)
Soit :
P
B
(
A
)
=
(
1
7
)
0
,
5
P_{B} \left(A\right)=\frac{\left(\frac{1}{7} \right)}{0,5}
P
B
(
A
)
=
0
,
5
(
7
1
)
, d'où
P
B
(
A
)
=
2
7
P_{B} \left(A\right)=\frac{2}{7}
P
B
(
A
)
=
7
2
D'après le cours on sait que :
P
A
(
B
)
=
P
(
A
∩
B
)
P
(
A
)
P_{A} \left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}
P
A
(
B
)
=
P
(
A
)
P
(
A
∩
B
)
Soit :
P
A
(
B
)
=
(
1
7
)
0
,
2
P_{A} \left(B\right)=\frac{\left(\frac{1}{7} \right)}{0,2}
P
A
(
B
)
=
0
,
2
(
7
1
)
, d'où
P
A
(
B
)
=
5
7
P_{A} \left(B\right)=\frac{5}{7}
P
A
(
B
)
=
7
5
Question 2
Calculer
P
(
A
∪
B
)
P\left(A\cup B\right)
P
(
A
∪
B
)
Correction
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
Il vient alors que :
P
(
A
∪
B
)
=
0
,
2
+
0
,
5
−
1
7
P\left(A\cup B\right)=0,2+0,5-\frac{1}{7}
P
(
A
∪
B
)
=
0
,
2
+
0
,
5
−
7
1
Ainsi :
P
(
A
∪
B
)
=
39
70
P\left(A\cup B\right)=\frac{39}{70}
P
(
A
∪
B
)
=
70
39
Question 3
Les évènements
A
A
A
et
B
B
B
sont-ils indépendants ?
Correction
Si
A
A
A
et
B
B
B
sont des
évènements indépendants
alors :
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\cap B\right) = P\left(A\right)\times P\left(B\right)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
Or
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
0
,
2
×
0
,
5
=
1
10
P\left(A\right)\times P\left(B\right)=0,2\times 0,5=\frac{1}{10}
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
0
,
2
×
0
,
5
=
10
1
donc
P
(
A
∩
B
)
≠
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\cap B\right)\ne P\left(A\right)\times P\left(B\right)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
Les évènements
A
A
A
et
B
B
B
ne sont pas indépendants.