Probabilités conditionnelles et indépendance

Arbres pondérés et formule des probabilités totales : pour se perfectionner

Exercice 1

Soit l'arbre de probabilité ci-dessous :

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Modéliser\;}

On considère deux évènements

A

B

d'un même univers tels que :

P \left(A\right)=0,9

P \left(\overline{A}\right)=0,1

;

P_{A} \left(B\right)=0,4

P_{A} \left(\overline{B}\right)=0,6

P_{\overline{A}} \left(B\right)=0,25

P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)=0,75

;

Compléter l'arbre de probabilité donnée ci-dessus :

Correction

Exercice 2

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;}

Soit l'arbre pondéré suivant :

Soient $A$ et $B$ , tels que $P\left(A\right)=0,6$ et $P_{A} \left(B\right)=\frac{1}{2}$ et $P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)=\frac{1}{3}$
Calculez $P\left(B\right)$ ?

Correction

Exercice 3

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;}

Soit l'arbre pondéré suivant :

Calculer $p\left(S\right)$ .

Correction

Exercice 4

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Modéliser\;}

{\color{red}2°)\;Calculer}

Un conservatoire de musique propose deux parcours à ses élèves : un parcours diplômant et un parcours loisir. On observe que

40\%

des élèves choisissent le parcours diplômant. Parmi ceux qui ont sélectionné le parcours diplômant,

30\%

choisissent de faire partie d’un orchestre. Parmi les élèves ayant choisi le parcours loisir,

25\%

choisissent de faire partie d’un orchestre. On sélectionne un élève de ce conservatoire au hasard.
On considère les évènements suivants :

$D$ : " L’élève sélectionné a choisi le parcours diplômant ".
$L$ : " L’élève sélectionné a choisi le parcours loisir ".
$O$ : " L’élève sélectionné a choisi de faire partie d’un orchestre ".

Compléter l’arbre de probabilité ci-dessus :

Correction

Décrire par une phrase l’événement $D\cap O$ puis calculer sa probabilité.

Correction

Déterminer la probabilité de l’évènement $O$ .

Correction

On choisit au hasard un élève faisant partie d’un orchestre. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il suive un parcours diplômant?

Correction

Exercice 5

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;}

{\color{red}2°)\;Raisonner}

Soient

A

B

, tels que

P\left(A\right)=0,2

P\left(B\right)=0,5

P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{7}

Calculez $P_{B} \left(A\right)$ puis $P_{A} \left(B\right)$

Correction

Calculer $P\left(A\cup B\right)$

Correction

Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Correction

Exercice 6

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;}

Soient

A

B

deux évènements incompatibles ou disjoints, tels que

P\left(A\right)=0,2

P\left(B\right)=0,5

Calculer $P\left(A\cup B\right)$

Correction

Exercice 7

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;}

{\color{red}2°)\;Raisonner}

Lors d'une enquête réalisée auprès de familles d'une région, on apprend que

40\%

des familles ont

1

enfant,

40\%

ont

2

enfants et enfin

20\%

ont

3

enfants ou plus.
Toutes les familles interrogées vont en vacances chaque été.

60\%

des familles avec

1

enfant vont à l’étranger,

80\%

des familles avec

2

enfants restent en France et enfin

15\%

des familles avec

3

enfants vont à l’étranger.
On interroge une famille de la région et on note :

$F$ l'événement : "la famille passe leurs vacances en France"
$E$ l'événement : "la famille passe leurs vacances à l'étranger"
$A$ l'événement : "la famille a un enfant "
$B$ l'événement : " la famille a deux enfants "
$C$ l'événement : " la famille a trois enfants "

Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies au millième.

Dresser l'arbre pondéré traduisant cette situation.

Correction

Calculer la probabilité de l'événement : "la famille a deux enfants et passe ses vacances en France".

Correction

Montrer que la probabilité de l'événement $F$ est égale à 0,65

Correction

On interroge au hasard une famille passant ses vacances en France.
Calculer la probabilité que la famille ait un enfant.

Correction

Exercice 8

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;}

{\color{red}2°)\;Raisonner}

On considère $2$ évènements indépendants $A$ et $B$ , tels que $P\left(B\right)=2P\left(A\right)$ et $P\left(A\cup B\right)=0,88$ . Alors : $P\left(A\right)=$
$0,2$
$0,3$
$0,4$
$0,1$

Correction

Arbres pondérés et formule des probabilités totales : pour se perfectionner

Exercice 1

Compléter l'arbre de probabilité donnée ci-dessus :

Exercice 2

Soient AAA et BBB, tels que P(A)=0,6P\left(A\right)=0,6P(A)=0,6 et PA(B)=12P_{A} \left(B\right)=\frac{1}{2} PA​(B)=21​ et PA‾(B‾)=13P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)=\frac{1}{3} PA​(B)=31​Calculez P(B)P\left(B\right)P(B) ?

Exercice 3

Calculer p(S)p\left(S\right)p(S) .

Exercice 4

Compléter l’arbre de probabilité ci-dessus :

Décrire par une phrase l’événement D∩OD\cap OD∩O puis calculer sa probabilité.

Déterminer la probabilité de l’évènement OOO.

On choisit au hasard un élève faisant partie d’un orchestre. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il suive un parcours diplômant?

Exercice 5

Calculez PB(A)P_{B} \left(A\right)PB​(A) puis PA(B)P_{A} \left(B\right)PA​(B)

Calculer P(A∪B)P\left(A\cup B\right)P(A∪B)

Les évènements AAA et BBB sont-ils indépendants ?

Exercice 6

Calculer P(A∪B)P\left(A\cup B\right)P(A∪B)

Exercice 7

Dresser l'arbre pondéré traduisant cette situation.

Calculer la probabilité de l'événement : "la famille a deux enfants et passe ses vacances en France".

Montrer que la probabilité de l'événement FFF est égale à 0,65

On interroge au hasard une famille passant ses vacances en France.Calculer la probabilité que la famille ait un enfant.

Exercice 8

On considère 222 évènements indépendants AAA et BBB , tels que P(B)=2P(A)P\left(B\right)=2P\left(A\right)P(B)=2P(A) et P(A∪B)=0,88P\left(A\cup B\right)=0,88P(A∪B)=0,88. Alors : P(A)=P\left(A\right)=P(A)=0,20,20,20,30,30,30,40,40,4 0,10,10,1

Soient $A$ et $B$ , tels que $P\left(A\right)=0,6$ et $P_{A} \left(B\right)=\frac{1}{2}$ et $P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)=\frac{1}{3}$
Calculez $P\left(B\right)$ ?

Calculer $p\left(S\right)$ .

Décrire par une phrase l’événement $D\cap O$ puis calculer sa probabilité.

Déterminer la probabilité de l’évènement $O$ .

Calculez $P_{B} \left(A\right)$ puis $P_{A} \left(B\right)$

Calculer $P\left(A\cup B\right)$

Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Calculer $P\left(A\cup B\right)$

Montrer que la probabilité de l'événement $F$ est égale à 0,65

On interroge au hasard une famille passant ses vacances en France.
Calculer la probabilité que la famille ait un enfant.

On considère $2$ évènements indépendants $A$ et $B$ , tels que $P\left(B\right)=2P\left(A\right)$ et $P\left(A\cup B\right)=0,88$ . Alors : $P\left(A\right)=$
$0,2$
$0,3$
$0,4$
$0,1$