COMPETENCES:1°)Modeˊliser On considère deux évènements A et B d'un même univers tels que : P(A)=0,9 et P(A)=0,1 ; PA(B)=0,4 et PA(B)=0,6 PA(B)=0,25 et PA(B)=0,75 ;
1
Compléter l'arbre de probabilité donnée ci-dessus :
Correction
Nous donnons ci-dessous l'arbre pondéré remplit de manière théorique, comme vu en cours. Sur chaque branche, apparaisse les noms des probabilités correspondantes.
Pour notre situation, nous avons donc :
Exercice 2
COMPETENCES:1°)Calculer
Soit l'arbre pondéré suivant :
1
Soient A et B, tels que P(A)=0,6 et PA(B)=21 et PA(B)=31 Calculez P(B) ?
Correction
On remplit l'arbre pondéré grâce aux informations données par l'énoncé. En noirs les valeurs de l'énoncé et en rouge les valeurs que l'on déduit.
A et A forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales on a : P(B)=P(A∩B)+P(A∩B) P(B)=P(A)×PA(B)+P(A)×PA(B) Soit : P(B)=0,6×21+0,4×32 Ainsi :
P(B)=3017
Exercice 3
COMPETENCES:1°)Calculer
Soit l'arbre pondéré suivant :
1
Calculer p(S) .
Correction
N et N forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales on a : P(S)=P(N∩S)+P(N∩S) P(S)=P(N)×PN(S)+P(N)×PN(S) Soit : P(S)=0,25×0,05+0,75×0,4 Ainsi :
P(S)=0,3125
Exercice 4
COMPETENCES:1°)Modeˊliser2°)Calculer Un conservatoire de musique propose deux parcours à ses élèves : un parcours diplômant et un parcours loisir. On observe que 40% des élèves choisissent le parcours diplômant. Parmi ceux qui ont sélectionné le parcours diplômant, 30% choisissent de faire partie d’un orchestre. Parmi les élèves ayant choisi le parcours loisir, 25% choisissent de faire partie d’un orchestre. On sélectionne un élève de ce conservatoire au hasard. On considère les évènements suivants :
D : " L’élève sélectionné a choisi le parcours diplômant ".
L : " L’élève sélectionné a choisi le parcours loisir ".
O : " L’élève sélectionné a choisi de faire partie d’un orchestre ".
1
Compléter l’arbre de probabilité ci-dessus :
Correction
2
Décrire par une phrase l’événement D∩O puis calculer sa probabilité.
Correction
L'évènement D∩O correspond à l'évènement : l’élève sélectionné a choisi le parcours diplômant et de faire partie d’un orchestre . P(D∩O)=P(D)×PD(O) P(D∩O)=0,4×0,3
P(D∩O)=0,12
3
Déterminer la probabilité de l’évènement O.
Correction
D et L forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales on a : P(O)=P(D∩O)+P(L∩O) P(O)=P(D)×PD(O)+P(L)×PL(O) Soit : P(O)=0,4×0,3+0,6×0,25 Ainsi :
P(O)=0,27
4
On choisit au hasard un élève faisant partie d’un orchestre. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il suive un parcours diplômant?
Correction
Il s'agit ici d'une forme avec un "sachant" c'est-à-dire une probabilité conditionnelle. On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant que l'élève fait partie d'un orchestre, quelle est la probabilité qu'il suive un parcourt diplômant.
On note PB(A) la probabilité d’avoir l’événement A sachant que l’événement B est réalisé. On a alors la relation suivante :
PB(A)=P(B)P(A∩B)
Il vient alors que : PO(D)=P(O)P(D∩O) PO(D)=P(O)P(D)×PD(O) PO(D)=0,270,4×0,3 d'où :
PO(D)≈0,444
Exercice 5
COMPETENCES:1°)Calculer2°)Raisonner
Soient A et B, tels que P(A)=0,2 et P(B)=0,5 et P(A∩B)=71
1
Calculez PB(A) puis PA(B)
Correction
On note PB(A) la probabilité d’avoir l’événement A sachant que l’événement B est réalisé. On a alors la relation suivante :
PB(A)=P(B)P(A∩B)
Soit : PB(A)=0,5(71) , d'où
PB(A)=72
D'après le cours on sait que : PA(B)=P(A)P(A∩B) Soit : PA(B)=0,2(71) , d'où
PA(B)=75
2
Calculer P(A∪B)
Correction
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Il vient alors que : P(A∪B)=0,2+0,5−71 Ainsi :
P(A∪B)=7039
3
Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
Correction
Si A et B sont des évènements indépendants alors : P(A∩B)=P(A)×P(B)
Or P(A)×P(B)=0,2×0,5=101 donc
P(A∩B)=P(A)×P(B)
Les évènements A et B ne sont pas indépendants.
Exercice 6
COMPETENCES:1°)Calculer
Soient A et B deux évènements incompatibles ou disjoints, tels que P(A)=0,2 et P(B)=0,5
1
Calculer P(A∪B)
Correction
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Or A et B deux évènements incompatibles donc P(A∩B)=0 Il en résulte que : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) Ainsi : P(A∪B)=0,2+0,5−0 Soit :
P(A∪B)=0,7
Exercice 7
COMPETENCES:1°)Calculer2°)Raisonner
Lors d'une enquête réalisée auprès de familles d'une région, on apprend que 40% des familles ont 1 enfant, 40% ont 2 enfants et enfin 20% ont 3 enfants ou plus. Toutes les familles interrogées vont en vacances chaque été. 60% des familles avec 1 enfant vont à l’étranger, 80% des familles avec 2 enfants restent en France et enfin 15% des familles avec 3 enfants vont à l’étranger. On interroge une famille de la région et on note :
F l'événement : "la famille passe leurs vacances en France"
E l'événement : "la famille passe leurs vacances à l'étranger"
A l'événement : "la famille a un enfant "
B l'événement : " la famille a deux enfants "
C l'événement : " la famille a trois enfants "
Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies au millième.
1
Dresser l'arbre pondéré traduisant cette situation.
Correction
On remplit l'arbre pondéré grâce aux informations données par l'énoncé. En noirs les valeurs de l'énoncé et en rouge les valeurs que l'on déduit.
2
Calculer la probabilité de l'événement : "la famille a deux enfants et passe ses vacances en France".
Correction
On calcule : P(B∩F)=P(B)×PB(F) P(B∩F)=0,4×0,8 Soit :
P(B∩F)=0,32
Cela signifie que 32% des familles avec deux enfants passent leurs vacances en France.
3
Montrer que la probabilité de l'événement F est égale à 0,65
Correction
A,B et C forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales on a : P(F)=P(A∩F)+P(B∩F)+P(C∩F) équivaut successivement à P(F)=P(A)×PA(F)+P(B)×PB(F)+P(C)×PC(F) Soit : P(F)=0,4×0,4+0,4×0,8+0,2×0,85 Ainsi :
P(F)=0,65
4
On interroge au hasard une famille passant ses vacances en France. Calculer la probabilité que la famille ait un enfant.
Correction
On note PB(A) la probabilité d’avoir l’événement A sachant que l’événement B est réalisé. On a alors la relation suivante :
PB(A)=P(B)P(A∩B)
Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant » . On pourrait traduire la question de la manière suivante ; sachant que la famille passe ses vacances en France quelle est la probabilité que la famille ait un enfant. PF(A)=P(F)P(A∩F) PF(A)=P(F)P(A)×PA(F) PF(A)=0,650,4×0,4 d'où
PF(A)=6516≈0,246
Sachant que la famille passe ses vacances en France, la probabilité qu’elle ait un enfant est de 24,6%.
Exercice 8
COMPETENCES:1°)Calculer2°)Raisonner
1
On considère 2 évènements indépendants A et B , tels que P(B)=2P(A) et P(A∪B)=0,88. Alors : P(A)=
0,2
0,3
0,4
0,1
Correction
La bonne réponse est c.
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Si A et B sont des évènements indépendants alors : P(A∩B)=P(A)×P(B)
On sait que : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) équivaut successivement à : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)×P(B) P(A∪B)=P(A)+2P(A)−P(A)×2P(A) P(A∪B)=3P(A)−2(P(A))2 Nous avons donc une équation du second degré d'inconnue P(A) tel que : −2(P(A))2+3P(A)−0,88=0 Δ=37 ; P(A)1=1,1 ; P(A)2=0,4 . On ne retient pas la valeur P(A)1=1,1 car une probabilité ne peut pas être plus grande que 1. Ainsi
P(A)=0,4
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