Probabilités conditionnelles et indépendance

Arbres pondérés et formule des probabilités totales : pour se familiariser - Exercice 2

15 min
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Question 1
On considère deux évènements AA et BB associées à une expérience aléatoire modélisée par l'arbre pondéré ci-dessous :

Indiquer la signification des nombres 0,60,6 ; 0,30,3 et 0,90,9 .

Correction
Nous donnons ci-dessous l'arbre pondéré remplit de manière théorique, comme vu en cours. Sur chaque branche, apparaisse les noms des probabilités correspondantes.
Il en résulte donc que :
  • P(A)=0,6P\left(A\right)=0,6
  • PA(B)=0,3P_{A} \left(B\right)=0,3
  • PA‾(B‾)=0,9P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)=0,9
    • Question 2

    Compléter l'arbre pondéré ci-dessus :

    Correction
    Question 3

    Déterminer la probabilité de l'évènement A∩BA\cap B .

    Correction
    L'évènement A∩BA\cap B correspond à l'évènement AA et{\color{blue}{\text{et}}} à l’événement BB.
    P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)
    P(A∩B)=0,6×0,3P\left(A\cap B\right)=0,6\times 0,3
    P(A∩B)=0,18P\left(A\cap B\right)=0,18
    Question 4

    Déterminer la probabilité de l'évènement P(B)P\left(B\right) .

    Correction
    AA et A‾\overline{A} forment une partition de l'univers.
    D'après la formule des probabilités totales on a :
    P(B)=P(A∩B)+P(A‾∩B)P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)
    P(B)=P(A)×PA(B)+P(A‾)×PA‾(B)P\left(B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(B\right)
    Soit : P(B)=0,6×0,3+0,4×0,1P\left(B\right)=0,6\times 0,3 +0,4\times 0,1
    Ainsi :
    P(B)=0,22P\left(B\right)=0,22