Vérifions si nous sommes prêt pour le jour du contrôle - Exercice 1

$$\left(u_{n} \right)$$ est une suite définie par une formule $$\red{\text{ explicite}}$$. En effet, $$u_{n}$$ est exprimé en fonction de $$n$$.

$$u_{2} =7\times 2-5$$
$$u_{2} =14-5$$
Ainsi :

Ici il faut être vigilant, le septième terme de la suite $$\left(u_{n} \right)$$ ne correspond pas à $$u_7$$.
En effet, le premier terme de la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$u_{0}$$ ce qui permet d'affirmer que le septième terme de la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$u_6$$.
Ainsi :
$$u_{6} =7\times 6-5$$
$$u_{6} =42-5$$
Ainsi :

1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
Comme $$u_{n} =7n-5$$ alors :
$$u_{n+1} =7\left(n+1\right)-5$$
$$u_{n+1} =7n+7-5$$
$$u_{n+1} =7n+2$$
2^ème étape : Calcul de $$u_{n+1} -u_{n}$$ puis étude du signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$.
$$u_{n+1} -u_{n} =7n+2-\left(7n-5\right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =7n+2-7n+5$$
$$u_{n+1} -u_{n} =7$$
Or $$u_{n+1} -u_{n} \ge 0$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ croissante.}}$$

Pour conjecturer une limite, il faut calculer les termes $$u_{n}$$ pour des valeurs grandes de $$n$$. Dans notre exemple, nous avons calculer $$u_{20000}$$ et $$u_{50000}$$.
On remarque que les termes de la suite de rang élevé $$\text{\blue{augmentent}}$$ de plus en plus .
On conjecture donc que la suite a pour limite $$+\infty$$.
On peut également dire que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est une suite $$\text{\red{divergente}}$$.
Nous écrivons alors que :
Ci-dessous, on observe que la représentation graphique de la suite $$\left(u_n\right)$$ ne cesse d'augmenter et les valeurs augmentent vers $$+\infty$$ .